Analysis Beispiele

$\int_{1}^{2} 2 x (1 + x^{2}) d x$

Schritt 1

Sei $u = 1 + x^{2}$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2 x} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 1 + x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Schritt 1.1.5

Addiere $0$ und $2 x$ .

$2 x$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 1 + x^{2}$ ein.

$u_{lower} = 1 + 1^{2}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u_{lower} = 1 + 1$

Schritt 1.3.2

Addiere $1$ und $1$ .

$u_{lower} = 2$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 1 + x^{2}$ ein.

$u_{upper} = 1 + 2^{2}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$u_{upper} = 1 + 4$

Schritt 1.5.2

Addiere $1$ und $4$ .

$u_{upper} = 5$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 5$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{2}^{5} u d u$

Schritt 2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u$ nach $u$ gleich $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2}]_{2}^{5}$

Schritt 3

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.1

Berechne $\frac{1}{2} u^{2}$ bei $5$ und $2$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 5^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 2^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 25 - \frac{1}{2} \cdot 2^{2}$

Schritt 3.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $25$ .

$\frac{25}{2} - \frac{1}{2} \cdot 2^{2}$

Schritt 3.2.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{25}{2} - \frac{1}{2} \cdot 4$

Schritt 3.2.4

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{25}{2} - 4 (\frac{1}{2})$

Schritt 3.2.5

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{25}{2} + \frac{- 4}{2}$

Schritt 3.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $2$ .

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Schritt 3.2.6.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{25}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2}$

Schritt 3.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{25}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Schritt 3.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{25}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{25}{2} + \frac{- 2}{1}$

Schritt 3.2.6.2.4

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$\frac{25}{2} - 2$

Schritt 3.2.7

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{25}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 3.2.8

Kombiniere $- 2$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{25}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}$

Schritt 3.2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{25 - 2 \cdot 2}{2}$

Schritt 3.2.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.10.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{25 - 4}{2}$

Schritt 3.2.10.2

Subtrahiere $4$ von $25$ .

$\frac{21}{2}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{21}{2}$

Dezimalform:

$10.5$

Darstellung als gemischte Zahl:

$10 \frac{1}{2}$

Schritt 5