Analysis Beispiele

$lim_{x \to 3} \frac{2 x^{2} - 5 x - 12}{6 - x - x^{2}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 3} 2 x^{2} - 5 x - 12}{lim_{x \to 3} 6 - x - x^{2}}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 3} 2 x^{2} - lim_{x \to 3} 5 x - lim_{x \to 3} 12}{lim_{x \to 3} 6 - x - x^{2}}$

Schritt 3

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 5 x - lim_{x \to 3} 12}{lim_{x \to 3} 6 - x - x^{2}}$

Schritt 4

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{2 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} 5 x - lim_{x \to 3} 12}{lim_{x \to 3} 6 - x - x^{2}}$

Schritt 5

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 5 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 12}{lim_{x \to 3} 6 - x - x^{2}}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $12$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$\frac{2 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 5 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 12}{lim_{x \to 3} 6 - x - x^{2}}$

Schritt 7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{2 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 5 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 12}{lim_{x \to 3} 6 - lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} x^{2}}$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert von $6$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$\frac{2 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 5 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 12}{6 - lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} x^{2}}$

Schritt 9

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{2 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 5 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 12}{6 - lim_{x \to 3} x - {(lim_{x \to 3} x)}^{2}}$

Schritt 10

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $3$ für alle $x$ .

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Schritt 10.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{2 \cdot 3^{2} - 5 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 12}{6 - lim_{x \to 3} x - {(lim_{x \to 3} x)}^{2}}$

Schritt 10.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{2 \cdot 3^{2} - 5 \cdot 3 - 1 \cdot 12}{6 - lim_{x \to 3} x - {(lim_{x \to 3} x)}^{2}}$

Schritt 10.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{2 \cdot 3^{2} - 5 \cdot 3 - 1 \cdot 12}{6 - 3 - {(lim_{x \to 3} x)}^{2}}$

Schritt 10.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{2 \cdot 3^{2} - 5 \cdot 3 - 1 \cdot 12}{6 - 3 - 3^{2}}$

Schritt 11

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 11.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{2 \cdot 9 - 5 \cdot 3 - 1 \cdot 12}{6 - 3 - 3^{2}}$

Schritt 11.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$\frac{18 - 5 \cdot 3 - 1 \cdot 12}{6 - 3 - 3^{2}}$

Schritt 11.1.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $3$ .

$\frac{18 - 15 - 1 \cdot 12}{6 - 3 - 3^{2}}$

Schritt 11.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $12$ .

$\frac{18 - 15 - 12}{6 - 3 - 3^{2}}$

Schritt 11.1.5

Subtrahiere $15$ von $18$ .

$\frac{3 - 12}{6 - 3 - 3^{2}}$

Schritt 11.1.6

Subtrahiere $12$ von $3$ .

$\frac{- 9}{6 - 3 - 3^{2}}$

Schritt 11.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.2.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{- 9}{6 - 3 - 1 \cdot 9}$

Schritt 11.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$\frac{- 9}{6 - 3 - 9}$

Schritt 11.2.3

Subtrahiere $3$ von $6$ .

$\frac{- 9}{3 - 9}$

Schritt 11.2.4

Subtrahiere $9$ von $3$ .

$\frac{- 9}{- 6}$

Schritt 11.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 9$ und $- 6$ .

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Schritt 11.3.1

Faktorisiere $- 3$ aus $- 9$ heraus.

$\frac{- 3 (3)}{- 6}$

Schritt 11.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.3.2.1

Faktorisiere $- 3$ aus $- 6$ heraus.

$\frac{- 3 \cdot 3}{- 3 \cdot 2}$

Schritt 11.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 \cdot 3}{- 3 \cdot 2}$

Schritt 11.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{2}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{3}{2}$

Dezimalform:

$1.5$