Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} \frac{x - 1}{x + 1} d x$

Schritt 1

Dividiere $x - 1$ durch $x + 1$ .

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Schritt 1.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x$

$1$

Schritt 1.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	-	$1$

Schritt 1.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	-	$1$
			+	$x$	+	$1$

Schritt 1.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x + 1$

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	-	$1$
			-	$x$	-	$1$

Schritt 1.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	-	$1$
			-	$x$	-	$1$
					-	$2$

Schritt 1.6

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\int_{0}^{1} 1 - \frac{2}{x + 1} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{1} d x + \int_{0}^{1} - \frac{2}{x + 1} d x$

Schritt 3

Wende die Konstantenregel an.

$x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - \frac{2}{x + 1} d x$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2}{x + 1} d x$

Schritt 5

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$x]_{0}^{1} - (2 \int_{0}^{1} \frac{1}{x + 1} d x)$

Schritt 6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} \frac{1}{x + 1} d x$

Schritt 7

Sei $u = x + 1$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 7.1

Es sei $u = x + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 7.1.1

Differenziere $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 7.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 7.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 7.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 7.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 7.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = x + 1$ ein.

$u_{lower} = 0 + 1$

Schritt 7.3

Addiere $0$ und $1$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 7.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = x + 1$ ein.

$u_{upper} = 1 + 1$

Schritt 7.5

Addiere $1$ und $1$ .

$u_{upper} = 2$

Schritt 7.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Schritt 7.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$x]_{0}^{1} - 2 \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u$

Schritt 8

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$x]_{0}^{1} - 2 (\ln (| u |)]_{1}^{2})$

Schritt 9

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 9.1

Berechne $x$ bei $1$ und $0$ .

$(1) + 0 - 2 (\ln (| u |)]_{1}^{2})$

Schritt 9.2

Berechne $\ln (| u |)$ bei $2$ und $1$ .

$(1) + 0 - 2 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))$

Schritt 9.3

Addiere $1$ und $0$ .

$1 - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 10

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$1 - 2 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$1 - 2 \ln (\frac{2}{| 1 |})$

Schritt 11.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$1 - 2 \ln (\frac{2}{1})$

Schritt 11.3

Dividiere $2$ durch $1$ .

$1 - 2 \ln (2)$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$1 - 2 \ln (2)$

Dezimalform:

$- 0.38629436 \dots$

Schritt 13