Analysis Beispiele

$y = - 5 {(2 x + 3)}^{3}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (- 5 {(2 x + 3)}^{3})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 {(2 x + 3)}^{3}$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{3}]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{3}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = 2 x + 3$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x + 3$ .

$- 5 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [2 x + 3])$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 5 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 3])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x + 3$ .

$- 5 (3 {(2 x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 3])$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 5$ .

$- 15 ({(2 x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 3])$

Schritt 3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$- 15 {(2 x + 3)}^{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 3.3.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 15 {(2 x + 3)}^{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 15 {(2 x + 3)}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 3.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- 15 {(2 x + 3)}^{2} (2 + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 3.3.6

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 15 {(2 x + 3)}^{2} (2 + 0)$

Schritt 3.3.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.7.1

Addiere $2$ und $0$ .

$- 15 {(2 x + 3)}^{2} \cdot 2$

Schritt 3.3.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 15$ .

$- 30 {(2 x + 3)}^{2}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = - 30 {(2 x + 3)}^{2}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 30 {(2 x + 3)}^{2}$