Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\ln (2)} x e^{- x} d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{- x}$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} - \int_{0}^{\ln (2)} - e^{- x} d x$

Schritt 2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} - - \int_{0}^{\ln (2)} e^{- x} d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} + 1 \int_{0}^{\ln (2)} e^{- x} d x$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\int_{0}^{\ln (2)} e^{- x} d x$ mit $1$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} + \int_{0}^{\ln (2)} e^{- x} d x$

Schritt 4

Sei $u = - x$ . Dann ist $d u = - d x$ , folglich $- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = - x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 4.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 4.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = - x$ ein.

$u_{lower} = - 0$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 4.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = - x$ ein.

$u_{upper} = - \ln (2)$

Schritt 4.5

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - \ln (2)$

Schritt 4.6

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} + \int_{0}^{- \ln (2)} - e^{u} d u$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} - \int_{0}^{- \ln (2)} e^{u} d u$

Schritt 6

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} - (e^{u}]_{0}^{- \ln (2)})$

Schritt 7

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.1

Berechne $x (- e^{- x})$ bei $\ln (2)$ und $0$ .

$(\ln (2) (- e^{- \ln (2)})) + 0 (- e^{- 0}) - (e^{u}]_{0}^{- \ln (2)})$

Schritt 7.2

Berechne $e^{u}$ bei $- \ln (2)$ und $0$ .

$(\ln (2) (- e^{- \ln (2)})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0})$

Schritt 7.3

Vereinfache.

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Schritt 7.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) + 0 (- e^{0}) - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0})$

Schritt 7.3.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) + 0 (- 1 \cdot 1) - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0})$

Schritt 7.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) + 0 \cdot - 1 - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0})$

Schritt 7.3.4

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) + 0 - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0})$

Schritt 7.3.5

Addiere $\ln (2) (- e^{- \ln (2)})$ und $0$ .

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0})$

Schritt 7.3.6

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) - (e^{- \ln (2)} - 1 \cdot 1)$

Schritt 7.3.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) - (e^{- \ln (2)} - 1)$

Schritt 8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.1

Vereinfache $- \ln (2)$ , indem du $- 1$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (2) (- e^{\ln (2^{- 1})}) - (e^{- \ln (2)} - 1)$

Schritt 8.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$\ln (2) (- 2^{- 1}) - (e^{- \ln (2)} - 1)$

Schritt 8.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\ln (2) (- \frac{1}{2}) - (e^{- \ln (2)} - 1)$

Schritt 8.4

Kombiniere $\ln (2)$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\ln (2)}{2} - (e^{- \ln (2)} - 1)$

Schritt 8.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.5.1

Vereinfache $- \ln (2)$ , indem du $- 1$ in den Logarithmus ziehst.

$- \frac{\ln (2)}{2} - (e^{\ln (2^{- 1})} - 1)$

Schritt 8.5.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$- \frac{\ln (2)}{2} - (2^{- 1} - 1)$

Schritt 8.5.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\ln (2)}{2} - (\frac{1}{2} - 1)$

Schritt 8.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\ln (2)}{2} - (\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})$

Schritt 8.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\ln (2)}{2} - (\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})$

Schritt 8.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{\ln (2)}{2} - \frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

Schritt 8.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{\ln (2)}{2} - \frac{1 - 2}{2}$

Schritt 8.9.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$- \frac{\ln (2)}{2} - \frac{- 1}{2}$

Schritt 8.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{\ln (2)}{2} - - \frac{1}{2}$

Schritt 8.11

Multipliziere $- - \frac{1}{2}$ .

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Schritt 8.11.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{\ln (2)}{2} + 1 (\frac{1}{2})$

Schritt 8.11.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$- \frac{\ln (2)}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{\ln (2)}{2} + \frac{1}{2}$

Dezimalform:

$0.15342640 \dots$

Schritt 10