Analysis Beispiele

$lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{2 x + 5} - \sqrt{x + 7}}{x - 2}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x + 5} - \sqrt{x + 7}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x + 5} - lim_{x \to 2} \sqrt{x + 7}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Schritt 1.1.2.2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 2} 2 x + 5} - lim_{x \to 2} \sqrt{x + 7}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Schritt 1.1.2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 2} 2 x + lim_{x \to 2} 5} - lim_{x \to 2} \sqrt{x + 7}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Schritt 1.1.2.4

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 5} - lim_{x \to 2} \sqrt{x + 7}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Schritt 1.1.2.5

Berechne den Grenzwert von $5$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x + 5} - lim_{x \to 2} \sqrt{x + 7}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Schritt 1.1.2.6

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x + 5} - \sqrt{lim_{x \to 2} x + 7}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Schritt 1.1.2.7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x + 5} - \sqrt{lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 7}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Schritt 1.1.2.8

Berechne den Grenzwert von $7$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x + 5} - \sqrt{lim_{x \to 2} x + 7}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Schritt 1.1.2.9

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $2$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.2.9.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{2 \cdot 2 + 5} - \sqrt{lim_{x \to 2} x + 7}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Schritt 1.1.2.9.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{2 \cdot 2 + 5} - \sqrt{2 + 7}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Schritt 1.1.2.10

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.10.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 5} - \sqrt{2 + 7}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Schritt 1.1.2.10.1.2

Addiere $4$ und $5$ .

$\frac{\sqrt{9} - \sqrt{2 + 7}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Schritt 1.1.2.10.1.3

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{3^{2}} - \sqrt{2 + 7}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Schritt 1.1.2.10.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{3 - \sqrt{2 + 7}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Schritt 1.1.2.10.1.5

Addiere $2$ und $7$ .

$\frac{3 - \sqrt{9}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Schritt 1.1.2.10.1.6

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{3 - \sqrt{3^{2}}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Schritt 1.1.2.10.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Schritt 1.1.2.10.1.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{3 - 3}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Schritt 1.1.2.10.2

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2}$

Schritt 1.1.3.1.2

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Schritt 1.1.3.3.2

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{2 x + 5} - \sqrt{x + 7}}{x - 2} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x + 5} - \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x + 5} - \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sqrt{2 x + 5} - \sqrt{x + 7}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x + 5}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x + 5}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x + 5}]$ .

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Schritt 1.3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 x + 5}$ als ${(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 2 x + 5$ .

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Schritt 1.3.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $2 x + 5$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x + 5] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.3.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x + 5] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.3.3.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x + 5$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x + 5] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.3.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.3.3.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.3.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.3.3.6

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.3.3.7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.3.3.8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.3.3.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.3.3.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.3.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.3.3.10.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{\frac{- 1}{2}} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.3.3.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{- \frac{1}{2}} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.3.3.12

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{- \frac{1}{2}} (2 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.3.3.13

Addiere $2$ und $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.3.3.14

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(2 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{{(2 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.3.3.15

Kombiniere $\frac{{(2 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ und $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{{(2 x + 5)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.3.3.16

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(2 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{2 \cdot {(2 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.3.3.17

Bringe ${(2 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{2}{2 {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.3.3.18

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{2}{2 {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.3.3.19

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]$ .

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Schritt 1.3.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 7}$ als ${(x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- {(x + 7)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.3.4.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- {(x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [{(x + 7)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d x} [{(x + 7)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.3.4.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x + 7$ .

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Schritt 1.3.4.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x + 7$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 7])}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.3.4.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 7])}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.3.4.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x + 7$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(x + 7)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 7])}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.3.4.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(x + 7)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.3.4.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(x + 7)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [7]))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.3.4.6

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(x + 7)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.3.4.7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(x + 7)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.3.4.8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(x + 7)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.3.4.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(x + 7)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.3.4.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.4.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(x + 7)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.3.4.10.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(x + 7)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.3.4.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(x + 7)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.3.4.12

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(x + 7)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.3.4.13

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x + 7)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{{(x + 7)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.3.4.14

Mutltipliziere $\frac{{(x + 7)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ mit $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{{(x + 7)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.3.4.15

Bringe ${(x + 7)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 {(x + 7)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 {(x + 7)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Schritt 1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 {(x + 7)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Schritt 1.3.7

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 {(x + 7)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

Schritt 1.3.8

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 {(x + 7)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Schritt 1.4

Wandle die gebrochene Exponenten in Wurzelausdrücke um.

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Schritt 1.4.1

Schreibe ${(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{2 x + 5}$ um.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{\sqrt{2 x + 5}} - \frac{1}{2 {(x + 7)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Schritt 1.4.2

Schreibe ${(x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{x + 7}$ um.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{\sqrt{2 x + 5}} - \frac{1}{2 \sqrt{x + 7}}}{1}$

Schritt 1.5

Vereine die Terme

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Schritt 1.5.1

Um $\frac{1}{\sqrt{2 x + 5}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 \sqrt{x + 7}}{2 \sqrt{x + 7}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{\sqrt{2 x + 5}} \cdot \frac{2 \sqrt{x + 7}}{2 \sqrt{x + 7}} - \frac{1}{2 \sqrt{x + 7}}}{1}$

Schritt 1.5.2

Um $- \frac{1}{2 \sqrt{x + 7}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\sqrt{2 x + 5}}{\sqrt{2 x + 5}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{\sqrt{2 x + 5}} \cdot \frac{2 \sqrt{x + 7}}{2 \sqrt{x + 7}} - \frac{1}{2 \sqrt{x + 7}} \cdot \frac{\sqrt{2 x + 5}}{\sqrt{2 x + 5}}}{1}$

Schritt 1.5.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $\sqrt{2 x + 5} \cdot 2 \sqrt{x + 7}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.5.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2 x + 5}}$ mit $\frac{2 \sqrt{x + 7}}{2 \sqrt{x + 7}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{2 \sqrt{x + 7}}{\sqrt{2 x + 5} (2 \sqrt{x + 7})} - \frac{1}{2 \sqrt{x + 7}} \cdot \frac{\sqrt{2 x + 5}}{\sqrt{2 x + 5}}}{1}$

Schritt 1.5.3.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{2 \sqrt{x + 7}}{2 \sqrt{(2 x + 5) (x + 7)}} - \frac{1}{2 \sqrt{x + 7}} \cdot \frac{\sqrt{2 x + 5}}{\sqrt{2 x + 5}}}{1}$

Schritt 1.5.3.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2 \sqrt{x + 7}}$ mit $\frac{\sqrt{2 x + 5}}{\sqrt{2 x + 5}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{2 \sqrt{x + 7}}{2 \sqrt{(2 x + 5) (x + 7)}} - \frac{\sqrt{2 x + 5}}{2 \sqrt{x + 7} \sqrt{2 x + 5}}}{1}$

Schritt 1.5.3.4

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{2 \sqrt{x + 7}}{2 \sqrt{(2 x + 5) (x + 7)}} - \frac{\sqrt{2 x + 5}}{2 \sqrt{(2 x + 5) (x + 7)}}}{1}$

Schritt 1.5.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{2 \sqrt{x + 7} - \sqrt{2 x + 5}}{2 \sqrt{(2 x + 5) (x + 7)}}}{1}$

Schritt 1.6

Dividiere $\frac{2 \sqrt{x + 7} - \sqrt{2 x + 5}}{2 \sqrt{(2 x + 5) (x + 7)}}$ durch $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sqrt{x + 7} - \sqrt{2 x + 5}}{2 \sqrt{(2 x + 5) (x + 7)}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 2} \frac{2 \sqrt{x + 7} - \sqrt{2 x + 5}}{\sqrt{(2 x + 5) (x + 7)}}$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 2} 2 \sqrt{x + 7} - \sqrt{2 x + 5}}{lim_{x \to 2} \sqrt{(2 x + 5) (x + 7)}}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 2} 2 \sqrt{x + 7} - lim_{x \to 2} \sqrt{2 x + 5}}{lim_{x \to 2} \sqrt{(2 x + 5) (x + 7)}}$

Schritt 2.4

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 2} \sqrt{x + 7} - lim_{x \to 2} \sqrt{2 x + 5}}{lim_{x \to 2} \sqrt{(2 x + 5) (x + 7)}}$

Schritt 2.5

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 2} x + 7} - lim_{x \to 2} \sqrt{2 x + 5}}{lim_{x \to 2} \sqrt{(2 x + 5) (x + 7)}}$

Schritt 2.6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 7} - lim_{x \to 2} \sqrt{2 x + 5}}{lim_{x \to 2} \sqrt{(2 x + 5) (x + 7)}}$

Schritt 2.7

Berechne den Grenzwert von $7$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 2} x + 7} - lim_{x \to 2} \sqrt{2 x + 5}}{lim_{x \to 2} \sqrt{(2 x + 5) (x + 7)}}$

Schritt 2.8

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 2} x + 7} - \sqrt{lim_{x \to 2} 2 x + 5}}{lim_{x \to 2} \sqrt{(2 x + 5) (x + 7)}}$

Schritt 2.9

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 2} x + 7} - \sqrt{lim_{x \to 2} 2 x + lim_{x \to 2} 5}}{lim_{x \to 2} \sqrt{(2 x + 5) (x + 7)}}$

Schritt 2.10

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 2} x + 7} - \sqrt{2 lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 5}}{lim_{x \to 2} \sqrt{(2 x + 5) (x + 7)}}$

Schritt 2.11

Berechne den Grenzwert von $5$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 2} x + 7} - \sqrt{2 lim_{x \to 2} x + 5}}{lim_{x \to 2} \sqrt{(2 x + 5) (x + 7)}}$

Schritt 2.12

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 2} x + 7} - \sqrt{2 lim_{x \to 2} x + 5}}{\sqrt{lim_{x \to 2} (2 x + 5) (x + 7)}}$

Schritt 2.13

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 2} x + 7} - \sqrt{2 lim_{x \to 2} x + 5}}{\sqrt{lim_{x \to 2} 2 x + 5 \cdot lim_{x \to 2} x + 7}}$

Schritt 2.14

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 2} x + 7} - \sqrt{2 lim_{x \to 2} x + 5}}{\sqrt{(lim_{x \to 2} 2 x + lim_{x \to 2} 5) \cdot lim_{x \to 2} x + 7}}$

Schritt 2.15

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 2} x + 7} - \sqrt{2 lim_{x \to 2} x + 5}}{\sqrt{(2 lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 5) \cdot lim_{x \to 2} x + 7}}$

Schritt 2.16

Berechne den Grenzwert von $5$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 2} x + 7} - \sqrt{2 lim_{x \to 2} x + 5}}{\sqrt{(2 lim_{x \to 2} x + 5) \cdot lim_{x \to 2} x + 7}}$

Schritt 2.17

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 2} x + 7} - \sqrt{2 lim_{x \to 2} x + 5}}{\sqrt{(2 lim_{x \to 2} x + 5) \cdot (lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 7)}}$

Schritt 2.18

Berechne den Grenzwert von $7$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 2} x + 7} - \sqrt{2 lim_{x \to 2} x + 5}}{\sqrt{(2 lim_{x \to 2} x + 5) \cdot (lim_{x \to 2} x + 7)}}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $2$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{2 + 7} - \sqrt{2 lim_{x \to 2} x + 5}}{\sqrt{(2 lim_{x \to 2} x + 5) \cdot (lim_{x \to 2} x + 7)}}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{2 + 7} - \sqrt{2 \cdot 2 + 5}}{\sqrt{(2 lim_{x \to 2} x + 5) \cdot (lim_{x \to 2} x + 7)}}$

Schritt 3.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{2 + 7} - \sqrt{2 \cdot 2 + 5}}{\sqrt{(2 \cdot 2 + 5) \cdot (lim_{x \to 2} x + 7)}}$

Schritt 3.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{2 + 7} - \sqrt{2 \cdot 2 + 5}}{\sqrt{(2 \cdot 2 + 5) \cdot (2 + 7)}}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Addiere $2$ und $7$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{9} - \sqrt{2 \cdot 2 + 5}}{\sqrt{(2 \cdot 2 + 5) \cdot (2 + 7)}}$

Schritt 4.1.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{3^{2}} - \sqrt{2 \cdot 2 + 5}}{\sqrt{(2 \cdot 2 + 5) \cdot (2 + 7)}}$

Schritt 4.1.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 3 - \sqrt{2 \cdot 2 + 5}}{\sqrt{(2 \cdot 2 + 5) \cdot (2 + 7)}}$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{6 - \sqrt{2 \cdot 2 + 5}}{\sqrt{(2 \cdot 2 + 5) \cdot (2 + 7)}}$

Schritt 4.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{6 - \sqrt{4 + 5}}{\sqrt{(2 \cdot 2 + 5) \cdot (2 + 7)}}$

Schritt 4.1.6

Addiere $4$ und $5$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{6 - \sqrt{9}}{\sqrt{(2 \cdot 2 + 5) \cdot (2 + 7)}}$

Schritt 4.1.7

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{6 - \sqrt{3^{2}}}{\sqrt{(2 \cdot 2 + 5) \cdot (2 + 7)}}$

Schritt 4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{6 - 1 \cdot 3}{\sqrt{(2 \cdot 2 + 5) \cdot (2 + 7)}}$

Schritt 4.1.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{6 - 3}{\sqrt{(2 \cdot 2 + 5) \cdot (2 + 7)}}$

Schritt 4.1.10

Subtrahiere $3$ von $6$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{\sqrt{(2 \cdot 2 + 5) \cdot (2 + 7)}}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{\sqrt{(4 + 5) (2 + 7)}}$

Schritt 4.2.2

Addiere $4$ und $5$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{\sqrt{9 (2 + 7)}}$

Schritt 4.2.3

Addiere $2$ und $7$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{\sqrt{9 \cdot 9}}$

Schritt 4.2.4

Mutltipliziere $9$ mit $9$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{\sqrt{81}}$

Schritt 4.2.5

Schreibe $81$ als $9^{2}$ um.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{\sqrt{9^{2}}}$

Schritt 4.2.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{9}$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $9$ .

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Schritt 4.3.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 (1)}{9}$

Schritt 4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

Schritt 4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

Schritt 4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 4.4

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 4.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{1}{6}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{6}$

Dezimalform:

$0.1\overline{6}$