Analysis Beispiele

$\int \frac{\sqrt{x^{5}}}{4} d x$

Schritt 1

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} \int \sqrt{x^{5}} d x$

Schritt 2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{5}}$ als $x^{\frac{5}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{4} \int x^{\frac{5}{2}} d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{5}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C)$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Schreibe $\frac{1}{4} (\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C)$ als $\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C$ um.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{2}{7}$ .

$\frac{2}{4 \cdot 7} x^{\frac{7}{2}} + C$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $7$ .

$\frac{2}{28} x^{\frac{7}{2}} + C$

Schritt 4.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $28$ .

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Schritt 4.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (1)}{28} x^{\frac{7}{2}} + C$

Schritt 4.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $28$ heraus.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 14} x^{\frac{7}{2}} + C$

Schritt 4.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 14} x^{\frac{7}{2}} + C$

Schritt 4.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{14} x^{\frac{7}{2}} + C$