Analysis Beispiele

$\sin (\frac{π}{2} - 6 x)$

Schritt 1

Schreibe $\sin (\frac{π}{2} - 6 x)$ als Funktion.

$f (x) = \sin (\frac{π}{2} - 6 x)$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \sin (\frac{π}{2} - 6 x) d x$

Schritt 4

Sei $u = \frac{π}{2} - 6 x$ . Dann ist $d u = - 6 d x$ , folglich $- \frac{1}{6} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = \frac{π}{2} - 6 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $\frac{π}{2} - 6 x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{π}{2} - 6 x]$

Schritt 4.1.2

Differenziere.

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Schritt 4.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{π}{2} - 6 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{π}{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{π}{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Schritt 4.1.2.2

Da $\frac{π}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{π}{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Schritt 4.1.3.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 6 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - 6 \cdot 1$

Schritt 4.1.3.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$0 - 6$

Schritt 4.1.4

Subtrahiere $6$ von $0$ .

$- 6$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \sin (u) \frac{1}{- 6} d u$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int \sin (u) (- \frac{1}{6}) d u$

Schritt 5.2

Kombiniere $\sin (u)$ und $\frac{1}{6}$ .

$\int - \frac{\sin (u)}{6} d u$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{\sin (u)}{6} d u$

Schritt 7

Da $\frac{1}{6}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{6}$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{6} \int \sin (u) d u)$

Schritt 8

Das Integral von $\sin (u)$ nach $u$ ist $- \cos (u)$ .

$- \frac{1}{6} (- \cos (u) + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Vereinfache.

$- \frac{1}{6} (- \cos (u)) + C$

Schritt 9.2

Vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{1}{6}) \cos (u) + C$

Schritt 9.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{6}$ mit $1$ .

$\frac{1}{6} \cos (u) + C$

Schritt 9.2.3

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $\cos (u)$ .

$\frac{\cos (u)}{6} + C$

Schritt 10

Ersetze alle $u$ durch $\frac{π}{2} - 6 x$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{2} - 6 x)}{6} + C$

Schritt 11

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{6} \cos (\frac{π}{2} - 6 x) + C$

Schritt 12

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \sin (\frac{π}{2} - 6 x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{6} \cos (\frac{π}{2} - 6 x) + C$