Analysis Beispiele

$a_{n} = n \cdot (n + 1)!$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d n} [f (n) g (n)]$ gleich $f (n) \frac{d}{d n} [g (n)] + g (n) \frac{d}{d n} [f (n)]$ ist mit $f (n) = n$ und $g (n) = (n + 1)!$ .

$n \frac{d}{d n} [(n + 1)!] + (n + 1)! \frac{d}{d n} [n]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ gleich $n \cdot n^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$n \frac{d}{d n} [(n + 1)!] + (n + 1)! \cdot 1$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $(n + 1)!$ mit $1$ .

$f' (n) = n \frac{d}{d n} [(n + 1)!] + (n + 1)!$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $n \frac{d}{d n} [(n + 1)!] + (n + 1)!$ nach $n$ $\frac{d}{d n} [n \frac{d}{d n} [(n + 1)!]] + \frac{d}{d n} [(n + 1)!]$ .

$\frac{d}{d n} [n \frac{d}{d n} [(n + 1)!]] + \frac{d}{d n} [(n + 1)!]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d n} [n \frac{d}{d n} [(n + 1)!]]$ .

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Schritt 2.2.1

$n \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]] + \frac{d}{d n} [(n + 1)!] \frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [(n + 1)!]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ gleich $n \cdot n^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$n \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]] + \frac{d}{d n} [(n + 1)!] \cdot 1 + \frac{d}{d n} [(n + 1)!]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $\frac{d}{d n} [(n + 1)!]$ mit $1$ .

$f'' (n) = n \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]] + \frac{d}{d n} [(n + 1)!] + \frac{d}{d n} [(n + 1)!]$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $n \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]] + \frac{d}{d n} [(n + 1)!] + \frac{d}{d n} [(n + 1)!]$ nach $n$ $\frac{d}{d n} [n \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]$ .

$\frac{d}{d n} [n \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d n} [n \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]]$ .

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Schritt 3.2.1

$n \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]] \frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ gleich $n \cdot n^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$n \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]] \cdot 1 + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]$ mit $1$ .

$f''' (n) = n \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]$

Schritt 4

Bestimme die vierte Ableitung.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $n \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]$ nach $n$ $\frac{d}{d n} [n \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]]$ .

$\frac{d}{d n} [n \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]]$

Schritt 4.2

Berechne $\frac{d}{d n} [n \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]]]$ .

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Schritt 4.2.1

$n \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]] \frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]]$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ gleich $n \cdot n^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$n \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]] \cdot 1 + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]]$

Schritt 4.2.3

Mutltipliziere $\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]]$ mit $1$ .

$f^{4} (n) = n \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]]$