Analysis Beispiele

$\int (- 2 x^{3} + 4 + 2 x^{- 3}) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int - 2 x^{3} + 4 + 2 x^{- 3} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int - 2 x^{3} d x + \int 4 d x + \int 2 x^{- 3} d x$

Schritt 3

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$- 2 \int x^{3} d x + \int 4 d x + \int 2 x^{- 3} d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int 4 d x + \int 2 x^{- 3} d x$

Schritt 5

Wende die Konstantenregel an.

$- 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 4 x + C + \int 2 x^{- 3} d x$

Schritt 6

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{4}$ .

$- 2 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 4 x + C + \int 2 x^{- 3} d x$

Schritt 7

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$- 2 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 4 x + C + 2 \int x^{- 3} d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- 2 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 4 x + C + 2 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Vereinfache.

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Schritt 9.1.1

Kombiniere $x^{- 2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 4 x + C + 2 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

Schritt 9.1.2

Bringe $x^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 4 x + C + 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

Schritt 9.2

Vereinfache.

$- \frac{x^{4}}{2} + 4 x + 2 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

Schritt 9.3

Vereinfache.

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Schritt 9.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{x^{4}}{2} + 4 x - 2 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Schritt 9.3.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$- \frac{x^{4}}{2} + 4 x + \frac{- 2}{2 x^{2}} + C$

Schritt 9.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 9.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$- \frac{x^{4}}{2} + 4 x + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{2}} + C$

Schritt 9.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$- \frac{x^{4}}{2} + 4 x + \frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{2})} + C$

Schritt 9.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{x^{4}}{2} + 4 x + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{2}} + C$

Schritt 9.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{x^{4}}{2} + 4 x + \frac{- 1}{x^{2}} + C$

Schritt 9.3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x^{4}}{2} + 4 x - \frac{1}{x^{2}} + C$

Schritt 10

Stelle die Terme um.

$- \frac{1}{2} x^{4} + 4 x - \frac{1}{x^{2}} + C$