Analysis Beispiele

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3} - x}{3 \sin (x + 3) + 3 x}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 3$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 3} e^{x + 3} - x}{lim_{x \to - 3} 3 \sin (x + 3) + 3 x}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 3$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 3} e^{x + 3} - lim_{x \to - 3} x}{lim_{x \to - 3} 3 \sin (x + 3) + 3 x}$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{e^{lim_{x \to - 3} x + 3} - lim_{x \to - 3} x}{lim_{x \to - 3} 3 \sin (x + 3) + 3 x}$

Schritt 4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 3$ annähert.

$\frac{e^{lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 3} - lim_{x \to - 3} x}{lim_{x \to - 3} 3 \sin (x + 3) + 3 x}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 3$ annähert.

$\frac{e^{lim_{x \to - 3} x + 3} - lim_{x \to - 3} x}{lim_{x \to - 3} 3 \sin (x + 3) + 3 x}$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 3$ annähert.

$\frac{e^{lim_{x \to - 3} x + 3} - lim_{x \to - 3} x}{lim_{x \to - 3} 3 \sin (x + 3) + lim_{x \to - 3} 3 x}$

Schritt 7

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{e^{lim_{x \to - 3} x + 3} - lim_{x \to - 3} x}{3 lim_{x \to - 3} \sin (x + 3) + lim_{x \to - 3} 3 x}$

Schritt 8

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{e^{lim_{x \to - 3} x + 3} - lim_{x \to - 3} x}{3 \sin (lim_{x \to - 3} x + 3) + lim_{x \to - 3} 3 x}$

Schritt 9

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 3$ annähert.

$\frac{e^{lim_{x \to - 3} x + 3} - lim_{x \to - 3} x}{3 \sin (lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 3) + lim_{x \to - 3} 3 x}$

Schritt 10

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 3$ annähert.

$\frac{e^{lim_{x \to - 3} x + 3} - lim_{x \to - 3} x}{3 \sin (lim_{x \to - 3} x + 3) + lim_{x \to - 3} 3 x}$

Schritt 11

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{e^{lim_{x \to - 3} x + 3} - lim_{x \to - 3} x}{3 \sin (lim_{x \to - 3} x + 3) + 3 lim_{x \to - 3} x}$

Schritt 12

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 3$ für alle $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 3$ für $x$ .

$\frac{e^{- 3 + 3} - lim_{x \to - 3} x}{3 \sin (lim_{x \to - 3} x + 3) + 3 lim_{x \to - 3} x}$

Schritt 12.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 3$ für $x$ .

$\frac{e^{- 3 + 3} + 3}{3 \sin (lim_{x \to - 3} x + 3) + 3 lim_{x \to - 3} x}$

Schritt 12.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 3$ für $x$ .

$\frac{e^{- 3 + 3} + 3}{3 \sin (- 3 + 3) + 3 lim_{x \to - 3} x}$

Schritt 12.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 3$ für $x$ .

$\frac{e^{- 3 + 3} + 3}{3 \sin (- 3 + 3) + 3 \cdot - 3}$

Schritt 13

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1.1

Addiere $- 3$ und $3$ .

$\frac{e^{0} + 3}{3 \sin (- 3 + 3) + 3 \cdot - 3}$

Schritt 13.1.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1 + 3}{3 \sin (- 3 + 3) + 3 \cdot - 3}$

Schritt 13.1.3

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{4}{3 \sin (- 3 + 3) + 3 \cdot - 3}$

Schritt 13.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.1

Addiere $- 3$ und $3$ .

$\frac{4}{3 \sin (0) + 3 \cdot - 3}$

Schritt 13.2.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{4}{3 \cdot 0 + 3 \cdot - 3}$

Schritt 13.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{4}{0 + 3 \cdot - 3}$

Schritt 13.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$\frac{4}{0 - 9}$

Schritt 13.2.5

Subtrahiere $9$ von $0$ .

$\frac{4}{- 9}$

Schritt 13.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4}{9}$