Analysis Beispiele

$4 - x y = y - 4 x^{4}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (4 - x y) = \frac{d}{d x} (y - 4 x^{4})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 - x y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x y]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Schritt 2.1.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x y]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x y$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x y]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$0 - (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$0 - (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - (x y' + y \cdot 1)$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$0 - (x y' + y)$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$0 - (x y') - y$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $- (- x y' - y)$ von $0$ .

$- x y' - y$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y - 4 x^{4}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$

Schritt 3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$y' + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x^{4}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$y' - 4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$y' - 4 (4 x^{3})$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 4$ .

$y' - 16 x^{3}$

Schritt 3.4

Stelle die Terme um.

$- 16 x^{3} + y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- x y' - y = - 16 x^{3} + y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x y' - y - y' = - 16 x^{3}$

Schritt 5.2

Addiere $y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- x y' - y' = - 16 x^{3} + y$

Schritt 5.3

Faktorisiere $y'$ aus $- x y' - y'$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $y'$ aus $- x y'$ heraus.

$y' (- x) - y' = - 16 x^{3} + y$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $- y'$ heraus.

$y' (- x) + y' \cdot - 1 = - 16 x^{3} + y$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (- x) + y' \cdot - 1$ heraus.

$y' (- x - 1) = - 16 x^{3} + y$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $y' (- x - 1) = - 16 x^{3} + y$ durch $- x - 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (- x - 1) = - 16 x^{3} + y$ durch $- x - 1$ .

$\frac{y' (- x - 1)}{- x - 1} = \frac{- 16 x^{3}}{- x - 1} + \frac{y}{- x - 1}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- x - 1$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (- x - 1)}{- x - 1} = \frac{- 16 x^{3}}{- x - 1} + \frac{y}{- x - 1}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 16 x^{3}}{- x - 1} + \frac{y}{- x - 1}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{16 x^{3}}{- x - 1} + \frac{y}{- x - 1}$

Schritt 5.4.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- 16 x^{3} + y}{- x - 1}$

Schritt 5.4.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 16 x^{3}$ heraus.

$y' = \frac{- (16 x^{3}) + y}{- x - 1}$

Schritt 5.4.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $y$ heraus.

$y' = \frac{- (16 x^{3}) - 1 (- y)}{- x - 1}$

Schritt 5.4.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (16 x^{3}) - 1 (- y)$ heraus.

$y' = \frac{- (16 x^{3} - y)}{- x - 1}$

Schritt 5.4.3.6

Schreibe $- (16 x^{3} - y)$ als $- 1 (16 x^{3} - y)$ um.

$y' = \frac{- 1 (16 x^{3} - y)}{- x - 1}$

Schritt 5.4.3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$y' = \frac{- 1 (16 x^{3} - y)}{- (x) - 1}$

Schritt 5.4.3.8

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$y' = \frac{- 1 (16 x^{3} - y)}{- (x) - 1 (1)}$

Schritt 5.4.3.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (1)$ heraus.

$y' = \frac{- 1 (16 x^{3} - y)}{- (x + 1)}$

Schritt 5.4.3.10

Schreibe $- (x + 1)$ als $- 1 (x + 1)$ um.

$y' = \frac{- 1 (16 x^{3} - y)}{- 1 (x + 1)}$

Schritt 5.4.3.11

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{- 1 (16 x^{3} - y)}{- 1 (x + 1)}$

Schritt 5.4.3.12

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{16 x^{3} - y}{x + 1}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{16 x^{3} - y}{x + 1}$