Analysis Beispiele

Berechne den Grenzwert Grenzwert von 3x^-2e^x, wenn x gegen infinity geht
Schritt 1
Vereinfache das Argument des Grenzwertes
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Schritt 1.1
Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten .
Schritt 1.2
Vereinige Faktoren.
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Schritt 1.2.1
Kombiniere und .
Schritt 1.2.2
Kombiniere und .
Schritt 2
Wende die Regel von de L’Hospital an.
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Schritt 2.1
Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.
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Schritt 2.1.1
Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.
Schritt 2.1.2
Da die Funktion gegen geht, geht die positive Konstante mal der Funktion ebenfalls gegen .
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Schritt 2.1.2.1
Betrachte den Grenzwert mit dem konstanten Vielfachen entfernt.
Schritt 2.1.2.2
Da der Exponent gegen geht, nähert sich die Größe an.
Schritt 2.1.3
Der Grenzwert im Unendlichen eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist unendlich.
Schritt 2.1.4
Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.
Undefiniert
Schritt 2.2
Da unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.
Schritt 2.3
Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.
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Schritt 2.3.1
Differenziere den Zähler und Nenner.
Schritt 2.3.2
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 2.3.3
Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass gleich ist, wobei =.
Schritt 2.3.4
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 3
Wende die Regel von de L’Hospital an.
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Schritt 3.1
Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.
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Schritt 3.1.1
Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.
Schritt 3.1.2
Da die Funktion gegen geht, geht die positive Konstante mal der Funktion ebenfalls gegen .
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Schritt 3.1.2.1
Betrachte den Grenzwert mit dem konstanten Vielfachen entfernt.
Schritt 3.1.2.2
Da der Exponent gegen geht, nähert sich die Größe an.
Schritt 3.1.3
Der Grenzwert im Unendlichen eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist unendlich.
Schritt 3.1.4
Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.
Undefiniert
Schritt 3.2
Da unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.
Schritt 3.3
Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.
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Schritt 3.3.1
Differenziere den Zähler und Nenner.
Schritt 3.3.2
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 3.3.3
Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass gleich ist, wobei =.
Schritt 3.3.4
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 3.3.5
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 3.3.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 4
Da die Funktion gegen geht, geht die positive Konstante mal der Funktion ebenfalls gegen .
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Schritt 4.1
Betrachte den Grenzwert mit dem konstanten Vielfachen entfernt.
Schritt 4.2
Da der Exponent gegen geht, nähert sich die Größe an.