Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} 3 x^{- 2} e^{x}$

Schritt 1

Vereinfache das Argument des Grenzwertes

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Schritt 1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} 3 \frac{1}{x^{2}} e^{x}$

Schritt 1.2

Vereinige Faktoren.

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Schritt 1.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}} e^{x}$

Schritt 1.2.2

Kombiniere $\frac{3}{x^{2}}$ und $e^{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{x^{2}}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to \infty} 3 e^{x}}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

Schritt 2.1.2

Da die Funktion $e^{x}$ gegen $\infty$ geht, geht die positive Konstante $3$ mal der Funktion ebenfalls gegen $\infty$ .

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Schritt 2.1.2.1

Betrachte den Grenzwert mit dem konstanten Vielfachen $3$ entfernt.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

Schritt 2.1.2.2

Da der Exponent $x$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{x}$ $\infty$ an.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

Schritt 2.1.3

Der Grenzwert im Unendlichen eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist unendlich.

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 2.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 2.2

Da $\frac{\infty}{\infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 2.3.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 e^{x}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 \frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{2 x}$

Schritt 3

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to \infty} 3 e^{x}}{lim_{x \to \infty} 2 x}$

Schritt 3.1.2

Da die Funktion $e^{x}$ gegen $\infty$ geht, geht die positive Konstante $3$ mal der Funktion ebenfalls gegen $\infty$ .

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Schritt 3.1.2.1

Betrachte den Grenzwert mit dem konstanten Vielfachen $3$ entfernt.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} 2 x}$

Schritt 3.1.2.2

Da der Exponent $x$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{x}$ $\infty$ an.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2 x}$

Schritt 3.1.3

Der Grenzwert im Unendlichen eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist unendlich.

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 3.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 3.2

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{2 x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{x}]}{\frac{d}{d x} [2 x]}$

Schritt 3.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{x}]}{\frac{d}{d x} [2 x]}$

Schritt 3.3.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 e^{x}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 \frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [2 x]}$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{\frac{d}{d x} [2 x]}$

Schritt 3.3.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{2 \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{2}$

Schritt 4

Da die Funktion $e^{x}$ gegen $\infty$ geht, geht die positive Konstante $\frac{3}{2}$ mal der Funktion ebenfalls gegen $\infty$ .

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Schritt 4.1

Betrachte den Grenzwert mit dem konstanten Vielfachen $\frac{3}{2}$ entfernt.

$lim_{x \to \infty} e^{x}$

Schritt 4.2

Da der Exponent $x$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{x}$ $\infty$ an.

$\infty$