Analysis Beispiele

$\int \frac{3 x - 2}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{3 x - 2}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 2

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int (3 x - 2) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Schritt 3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (3 x - 2) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Schritt 3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\int (3 x - 2) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Schritt 3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int (3 x - 2) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 4

Multipliziere $(3 x - 2) x^{- \frac{1}{2}}$ aus.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int 3 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 4.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int 3 (x^{1} x^{- \frac{1}{2}}) - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 3 x^{1 - \frac{1}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 4.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\int 3 x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int 3 x^{\frac{2 - 1}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 4.6

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\int 3 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 3 x^{\frac{1}{2}} d x + \int - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 6

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 8

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) - 2 \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) - 2 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Vereinfache.

$3 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 10.2

Vereinfache.

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Schritt 10.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{2}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 10.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6}{3} x^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 10.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $3$ .

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Schritt 10.2.3.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{3 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 10.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 10.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 10.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{1} x^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 10.2.3.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 10.2.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} - 4 x^{\frac{1}{2}} + C$