Analysis Beispiele

$lim_{x \to b} \frac{{(x - b)}^{30} - 4 x + 4 b}{x - b}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to b} {(x - b)}^{30} - 4 x + 4 b}{lim_{x \to b} x - b}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $b$ annähert.

$\frac{lim_{x \to b} {(x - b)}^{30} - lim_{x \to b} 4 x + lim_{x \to b} 4 b}{lim_{x \to b} x - b}$

Schritt 1.1.2.2

Ziehe den Exponenten $30$ von ${(x - b)}^{30}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to b} x - b)}^{30} - lim_{x \to b} 4 x + lim_{x \to b} 4 b}{lim_{x \to b} x - b}$

Schritt 1.1.2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $b$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to b} x - lim_{x \to b} b)}^{30} - lim_{x \to b} 4 x + lim_{x \to b} 4 b}{lim_{x \to b} x - b}$

Schritt 1.1.2.4

Berechne den Grenzwert von $b$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $b$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to b} x - b)}^{30} - lim_{x \to b} 4 x + lim_{x \to b} 4 b}{lim_{x \to b} x - b}$

Schritt 1.1.2.5

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{{(lim_{x \to b} x - b)}^{30} - 4 lim_{x \to b} x + lim_{x \to b} 4 b}{lim_{x \to b} x - b}$

Schritt 1.1.2.6

Berechne den Grenzwert von $4 b$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $b$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to b} x - b)}^{30} - 4 lim_{x \to b} x + 4 b}{lim_{x \to b} x - b}$

Schritt 1.1.2.7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $b$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.2.7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $b$ für $x$ .

$\frac{{(b - b)}^{30} - 4 lim_{x \to b} x + 4 b}{lim_{x \to b} x - b}$

Schritt 1.1.2.7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $b$ für $x$ .

$\frac{{(b - b)}^{30} - 4 b + 4 b}{lim_{x \to b} x - b}$

Schritt 1.1.2.8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.8.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in ${(b - b)}^{30} - 4 b + 4 b$ .

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Schritt 1.1.2.8.1.1

Subtrahiere $b$ von $b$ .

$\frac{0^{30} - 4 b + 4 b}{lim_{x \to b} x - b}$

Schritt 1.1.2.8.1.2

Addiere $- 4 b$ und $4 b$ .

$\frac{0^{30} + 0}{lim_{x \to b} x - b}$

Schritt 1.1.2.8.1.3

Addiere $0^{30}$ und $0$ .

$\frac{0^{30}}{lim_{x \to b} x - b}$

Schritt 1.1.2.8.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to b} x - b}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $b$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to b} x - lim_{x \to b} b}$

Schritt 1.1.3.1.2

Berechne den Grenzwert von $b$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $b$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to b} x - b}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $b$ für $x$ .

$\frac{0}{b - b}$

Schritt 1.1.3.3

Subtrahiere $b$ von $b$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to b} \frac{{(x - b)}^{30} - 4 x + 4 b}{x - b} = lim_{x \to b} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - b)}^{30} - 4 x + 4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to b} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - b)}^{30} - 4 x + 4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von ${(x - b)}^{30} - 4 x + 4 b$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [{(x - b)}^{30}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 b]$ .

$lim_{x \to b} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - b)}^{30}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Schritt 1.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [{(x - b)}^{30}]$ .

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Schritt 1.3.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{30}$ und $g (x) = x - b$ .

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Schritt 1.3.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - b$ .

$lim_{x \to b} \frac{\frac{d}{d u} [u^{30}] \frac{d}{d x} [x - b] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Schritt 1.3.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 30$ .

$lim_{x \to b} \frac{30 u^{29} \frac{d}{d x} [x - b] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Schritt 1.3.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x - b$ .

$lim_{x \to b} \frac{30 {(x - b)}^{29} \frac{d}{d x} [x - b] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Schritt 1.3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - b$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- b]$ .

$lim_{x \to b} \frac{30 {(x - b)}^{29} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- b]) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Schritt 1.3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to b} \frac{30 {(x - b)}^{29} (1 + \frac{d}{d x} [- b]) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Schritt 1.3.3.4

Da $- b$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- b$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to b} \frac{30 {(x - b)}^{29} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Schritt 1.3.3.5

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to b} \frac{30 {(x - b)}^{29} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Schritt 1.3.3.6

Mutltipliziere $30$ mit $1$ .

$lim_{x \to b} \frac{30 {(x - b)}^{29} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Schritt 1.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Schritt 1.3.4.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to b} \frac{30 {(x - b)}^{29} - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Schritt 1.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to b} \frac{30 {(x - b)}^{29} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Schritt 1.3.4.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$lim_{x \to b} \frac{30 {(x - b)}^{29} - 4 + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Schritt 1.3.5

Da $4 b$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 b$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to b} \frac{30 {(x - b)}^{29} - 4 + 0}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Schritt 1.3.6

Addiere $30 {(x - b)}^{29} - 4$ und $0$ .

$lim_{x \to b} \frac{30 {(x - b)}^{29} - 4}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Schritt 1.3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - b$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- b]$ .

$lim_{x \to b} \frac{30 {(x - b)}^{29} - 4}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- b]}$

Schritt 1.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to b} \frac{30 {(x - b)}^{29} - 4}{1 + \frac{d}{d x} [- b]}$

Schritt 1.3.9

Da $- b$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- b$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to b} \frac{30 {(x - b)}^{29} - 4}{1 + 0}$

Schritt 1.3.10

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to b} \frac{30 {(x - b)}^{29} - 4}{1}$

Schritt 1.4

Dividiere $30 {(x - b)}^{29} - 4$ durch $1$ .

$lim_{x \to b} 30 {(x - b)}^{29} - 4$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $b$ annähert.

$lim_{x \to b} 30 {(x - b)}^{29} - lim_{x \to b} 4$

Schritt 2.2

Ziehe den Term $30$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$30 lim_{x \to b} {(x - b)}^{29} - lim_{x \to b} 4$

Schritt 2.3

Ziehe den Exponenten $29$ von ${(x - b)}^{29}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$30 {(lim_{x \to b} x - b)}^{29} - lim_{x \to b} 4$

Schritt 2.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $b$ annähert.

$30 {(lim_{x \to b} x - lim_{x \to b} b)}^{29} - lim_{x \to b} 4$

Schritt 2.5

Berechne den Grenzwert von $b$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $b$ annähert.

$30 {(lim_{x \to b} x - b)}^{29} - lim_{x \to b} 4$

Schritt 2.6

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $b$ annähert.

$30 {(lim_{x \to b} x - b)}^{29} - 1 \cdot 4$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $b$ für $x$ .

$30 {(b - b)}^{29} - 1 \cdot 4$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $b$ von $b$ .

$30 \cdot 0^{29} - 1 \cdot 4$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$30 \cdot 0 - 1 \cdot 4$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $30$ mit $0$ .

$0 - 1 \cdot 4$

Schritt 4.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$0 - 4$

Schritt 4.3

Subtrahiere $4$ von $0$ .

$- 4$