Analysis Beispiele

$lim_{x \to 3} \frac{\sin (2 x - 6)}{\ln (4 - x)}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 3} \sin (2 x - 6)}{lim_{x \to 3} \ln (4 - x)}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.2.1.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{\sin (lim_{x \to 3} 2 x - 6)}{lim_{x \to 3} \ln (4 - x)}$

Schritt 1.2.1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{\sin (lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 6)}{lim_{x \to 3} \ln (4 - x)}$

Schritt 1.2.1.3

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 6)}{lim_{x \to 3} \ln (4 - x)}$

Schritt 1.2.1.4

Berechne den Grenzwert von $6$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6)}{lim_{x \to 3} \ln (4 - x)}$

Schritt 1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{\sin (2 \cdot 3 - 1 \cdot 6)}{lim_{x \to 3} \ln (4 - x)}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{\sin (6 - 1 \cdot 6)}{lim_{x \to 3} \ln (4 - x)}$

Schritt 1.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$\frac{\sin (6 - 6)}{lim_{x \to 3} \ln (4 - x)}$

Schritt 1.2.3.2

Subtrahiere $6$ von $6$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 3} \ln (4 - x)}$

Schritt 1.2.3.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} \ln (4 - x)}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 3} 4 - x)}$

Schritt 1.3.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 3} 4 - lim_{x \to 3} x)}$

Schritt 1.3.3

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$\frac{0}{\ln (4 - lim_{x \to 3} x)}$

Schritt 1.3.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.3.4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{0}{\ln (4 - 3)}$

Schritt 1.3.4.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.3.4.2.1

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$\frac{0}{\ln (1)}$

Schritt 1.3.4.2.2

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.4.2.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.4.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.5

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 3} \frac{\sin (2 x - 6)}{\ln (4 - x)} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x - 6)]}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x - 6)]}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 2 x - 6$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x - 6$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x - 6]}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x - 6]}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x - 6$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\cos (2 x - 6) \frac{d}{d x} [2 x - 6]}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

Schritt 3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\cos (2 x - 6) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6])}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

Schritt 3.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\cos (2 x - 6) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\cos (2 x - 6) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\cos (2 x - 6) (2 + \frac{d}{d x} [- 6])}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

Schritt 3.7

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\cos (2 x - 6) (2 + 0)}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

Schritt 3.8

Addiere $2$ und $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\cos (2 x - 6) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

Schritt 3.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (2 x - 6)$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cdot \cos (2 x - 6)}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

Schritt 3.10

Mutltipliziere $2$ mit $\cos (2 x - 6)$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

Schritt 3.11

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 4 - x$ .

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Schritt 3.11.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 - x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 - x]}$

Schritt 3.11.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 - x]}$

Schritt 3.11.3

Ersetze alle $u$ durch $4 - x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{\frac{1}{4 - x} \frac{d}{d x} [4 - x]}$

Schritt 3.12

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{\frac{1}{4 - x} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x])}$

Schritt 3.13

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{\frac{1}{4 - x} (0 + \frac{d}{d x} [- x])}$

Schritt 3.14

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{\frac{1}{4 - x} \frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 3.15

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{\frac{1}{4 - x} (- \frac{d}{d x} [x])}$

Schritt 3.16

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{\frac{1}{4 - x} (- 1 \cdot 1)}$

Schritt 3.17

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{\frac{1}{4 - x} \cdot - 1}$

Schritt 3.18

Kombiniere $\frac{1}{4 - x}$ und $- 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{\frac{- 1}{4 - x}}$

Schritt 3.19

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{- \frac{1}{4 - x}}$

Schritt 4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 3} 2 \cos (2 x - 6) (- (4 - x))$

Schritt 5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$lim_{x \to 3} - 2 \cos (2 x - 6) (4 - x)$

Schritt 6

Ziehe den Term $- 2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- 2 lim_{x \to 3} \cos (2 x - 6) (4 - x)$

Schritt 7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$- 2 lim_{x \to 3} \cos (2 x - 6) \cdot lim_{x \to 3} 4 - x$

Schritt 8

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$- 2 \cos (lim_{x \to 3} 2 x - 6) \cdot lim_{x \to 3} 4 - x$

Schritt 9

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$- 2 \cos (lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 6) \cdot lim_{x \to 3} 4 - x$

Schritt 10

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- 2 \cos (2 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 6) \cdot lim_{x \to 3} 4 - x$

Schritt 11

Berechne den Grenzwert von $6$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$- 2 \cos (2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6) \cdot lim_{x \to 3} 4 - x$

Schritt 12

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$- 2 \cos (2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6) \cdot (lim_{x \to 3} 4 - lim_{x \to 3} x)$

Schritt 13

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$- 2 \cos (2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6) \cdot (4 - lim_{x \to 3} x)$

Schritt 14

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $3$ für alle $x$ .

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Schritt 14.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$- 2 \cos (2 \cdot 3 - 1 \cdot 6) \cdot (4 - lim_{x \to 3} x)$

Schritt 14.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$- 2 \cos (2 \cdot 3 - 1 \cdot 6) \cdot (4 - 3)$

Schritt 15

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 15.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$- 2 \cos (6 - 1 \cdot 6) \cdot (4 - 3)$

Schritt 15.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$- 2 \cos (6 - 6) \cdot (4 - 3)$

Schritt 15.2

Subtrahiere $6$ von $6$ .

$- 2 \cos (0) \cdot (4 - 3)$

Schritt 15.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$- 2 \cdot 1 \cdot (4 - 3)$

Schritt 15.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2 \cdot (4 - 3)$

Schritt 15.5

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$- 2 \cdot 1$

Schritt 15.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2$