Analysis Beispiele

$\sum_{i = 1}^{9} - 28 {(- \frac{1}{2})}^{i - 1}$

Schritt 1

Die Summe einer endlichen geometrischen Reihe kann mit der Formel $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ gefunden werden, wobei $a$ der erste Term und $r$ das Verhältnis zwischen den aufeinanderfolgenden Termen ist.

Schritt 2

Finde das Verhältnis der aufeinanderfolgenden Terme, indem du sie in die Formel $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ einsetzt und vereinfachst.

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Schritt 2.1

Setze $a_{i}$ und $a_{i + 1}$ in die Formel für $r$ ein.

$r = \frac{- 28 {(- \frac{1}{2})}^{i + 1 - 1}}{- 28 {(- \frac{1}{2})}^{i - 1}}$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 28$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{- 28 {(- \frac{1}{2})}^{i + 1 - 1}}{- 28 {(- \frac{1}{2})}^{i - 1}}$

Schritt 2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{i + 1 - 1}}{{(- \frac{1}{2})}^{i - 1}}$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(- \frac{1}{2})}^{i + 1 - 1}$ und ${(- \frac{1}{2})}^{i - 1}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere ${(- \frac{1}{2})}^{i - 1}$ aus ${(- \frac{1}{2})}^{i + 1 - 1}$ heraus.

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{i - 1} {(- \frac{1}{2})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(- \frac{1}{2})}^{i - 1}}$

Schritt 2.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.2.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{i - 1} {(- \frac{1}{2})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(- \frac{1}{2})}^{i - 1} \cdot 1}$

Schritt 2.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{i - 1} {(- \frac{1}{2})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(- \frac{1}{2})}^{i - 1} \cdot 1}$

Schritt 2.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{i + 0 - (i - 1)}}{1}$

Schritt 2.2.2.2.4

Dividiere ${(- \frac{1}{2})}^{i + 0 - (i - 1)}$ durch $1$ .

$r = {(- \frac{1}{2})}^{i + 0 - (i - 1)}$

Schritt 2.2.3

Addiere $i$ und $0$ .

$r = {(- \frac{1}{2})}^{i - (i - 1)}$

Schritt 2.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$r = {(- \frac{1}{2})}^{i - i - - 1}$

Schritt 2.2.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$r = {(- \frac{1}{2})}^{i - i + 1}$

Schritt 2.2.5

Subtrahiere $i$ von $i$ .

$r = {(- \frac{1}{2})}^{0 + 1}$

Schritt 2.2.6

Addiere $0$ und $1$ .

$r = {(- \frac{1}{2})}^{1}$

Schritt 2.2.7

Vereinfache.

$r = - \frac{1}{2}$

Schritt 3

Finde den ersten Term in der Reihe, indem du ihn in der unteren Grenze ersetzt und vereinfachst.

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Schritt 3.1

Setze $1$ für $i$ in $- 28 {(- \frac{1}{2})}^{i - 1}$ ein.

$a = - 28 {(- \frac{1}{2})}^{1 - 1}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$a = - 28 {(- \frac{1}{2})}^{0}$

Schritt 3.2.2

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.2.2.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{2}$ an.

$a = - 28 ({(- 1)}^{0} {(\frac{1}{2})}^{0})$

Schritt 3.2.2.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$a = - 28 ({(- 1)}^{0} \frac{1^{0}}{2^{0}})$

Schritt 3.2.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$a = - 28 (1 \frac{1^{0}}{2^{0}})$

Schritt 3.2.4

Mutltipliziere $\frac{1^{0}}{2^{0}}$ mit $1$ .

$a = - 28 \frac{1^{0}}{2^{0}}$

Schritt 3.2.5

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$a = - 28 \frac{1}{2^{0}}$

Schritt 3.2.6

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$a = - 28 (\frac{1}{1})$

Schritt 3.2.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 3.2.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a = - 28 (\frac{1}{1})$

Schritt 3.2.7.2

Forme den Ausdruck um.

$a = - 28 \cdot 1$

Schritt 3.2.8

Mutltipliziere $- 28$ mit $1$ .

$a = - 28$

Schritt 4

Ersetze die Werte des Verhältnisses, des ersten Terms und die Anzahl der Terme in der Summenformel.

$- 28 \frac{1 - {(- \frac{1}{2})}^{9}}{1 - - \frac{1}{2}}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 5.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{2}$ an.

$- 28 \frac{1 - ({(- 1)}^{9} {(\frac{1}{2})}^{9})}{1 - - \frac{1}{2}}$

Schritt 5.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$- 28 \frac{1 - ({(- 1)}^{9} \frac{1^{9}}{2^{9}})}{1 - - \frac{1}{2}}$

Schritt 5.1.2

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{9}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1.2.1

Bewege ${(- 1)}^{9}$ .

$- 28 \frac{1 + {(- 1)}^{9} \cdot - 1 \frac{1^{9}}{2^{9}}}{1 - - \frac{1}{2}}$

Schritt 5.1.2.2

Mutltipliziere ${(- 1)}^{9}$ mit $- 1$ .

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Schritt 5.1.2.2.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

$- 28 \frac{1 + {(- 1)}^{9} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{1^{9}}{2^{9}}}{1 - - \frac{1}{2}}$

Schritt 5.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 28 \frac{1 + {(- 1)}^{9 + 1} \frac{1^{9}}{2^{9}}}{1 - - \frac{1}{2}}$

Schritt 5.1.2.3

Addiere $9$ und $1$ .

$- 28 \frac{1 + {(- 1)}^{10} \frac{1^{9}}{2^{9}}}{1 - - \frac{1}{2}}$

Schritt 5.1.3

Potenziere $- 1$ mit $10$ .

$- 28 \frac{1 + 1 \frac{1^{9}}{2^{9}}}{1 - - \frac{1}{2}}$

Schritt 5.1.4

Mutltipliziere $\frac{1^{9}}{2^{9}}$ mit $1$ .

$- 28 \frac{1 + \frac{1^{9}}{2^{9}}}{1 - - \frac{1}{2}}$

Schritt 5.1.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- 28 \frac{1 + \frac{1}{2^{9}}}{1 - - \frac{1}{2}}$

Schritt 5.1.6

Potenziere $2$ mit $9$ .

$- 28 \frac{1 + \frac{1}{512}}{1 - - \frac{1}{2}}$

Schritt 5.1.7

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- 28 \frac{\frac{512}{512} + \frac{1}{512}}{1 - - \frac{1}{2}}$

Schritt 5.1.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 28 \frac{\frac{512 + 1}{512}}{1 - - \frac{1}{2}}$

Schritt 5.1.9

Addiere $512$ und $1$ .

$- 28 \frac{\frac{513}{512}}{1 - - \frac{1}{2}}$

Schritt 5.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.1

Multipliziere $- - \frac{1}{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- 28 \frac{\frac{513}{512}}{1 + 1 (\frac{1}{2})}$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$- 28 \frac{\frac{513}{512}}{1 + \frac{1}{2}}$

Schritt 5.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- 28 \frac{\frac{513}{512}}{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}$

Schritt 5.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 28 \frac{\frac{513}{512}}{\frac{2 + 1}{2}}$

Schritt 5.2.4

Addiere $2$ und $1$ .

$- 28 \frac{\frac{513}{512}}{\frac{3}{2}}$

Schritt 5.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- 28 (\frac{513}{512} \cdot \frac{2}{3})$

Schritt 5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $3$ aus $513$ heraus.

$- 28 (\frac{3 (171)}{512} \cdot \frac{2}{3})$

Schritt 5.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 28 (\frac{3 \cdot 171}{512} \cdot \frac{2}{3})$

Schritt 5.4.3

Forme den Ausdruck um.

$- 28 (\frac{171}{512} \cdot 2)$

Schritt 5.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.5.1

Faktorisiere $2$ aus $512$ heraus.

$- 28 (\frac{171}{2 (256)} \cdot 2)$

Schritt 5.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 28 (\frac{171}{2 \cdot 256} \cdot 2)$

Schritt 5.5.3

Forme den Ausdruck um.

$- 28 (\frac{171}{256})$

Schritt 5.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.6.1

Faktorisiere $4$ aus $- 28$ heraus.

$4 (- 7) \frac{171}{256}$

Schritt 5.6.2

Faktorisiere $4$ aus $256$ heraus.

$4 \cdot - 7 \frac{171}{4 \cdot 64}$

Schritt 5.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \cdot - 7 \frac{171}{4 \cdot 64}$

Schritt 5.6.4

Forme den Ausdruck um.

$- 7 (\frac{171}{64})$

Schritt 5.7

Kombiniere $- 7$ und $\frac{171}{64}$ .

$\frac{- 7 \cdot 171}{64}$

Schritt 5.8

Mutltipliziere $- 7$ mit $171$ .

$\frac{- 1197}{64}$

Schritt 5.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1197}{64}$