Analysis Beispiele

$y = \arcsin (\frac{x}{4})$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\arcsin (\frac{x}{4}))$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arcsin (x)$ und $g (x) = \frac{x}{4}$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x}{4}$ .

$\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\arcsin (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{4}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} (\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}}$ .

$\frac{1}{4 \sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{4 \sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} \cdot 1$

Schritt 3.2.4

Mutltipliziere $\frac{1}{4 \sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}}$ mit $1$ .

$\frac{1}{4 \sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{4}$ an.

$\frac{1}{4 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4^{2}}}}$

Schritt 3.3.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{1}{4 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{1}{4 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$