Analysis Beispiele

$f (x) = x^{5} - 4 x^{3} + 4 x - 1$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{5} - 4 x^{3} + 4 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 x^{4} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$5 x^{4} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 4 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 4 + 0$

Schritt 1.4.2

Addiere $5 x^{4} - 12 x^{2} + 4$ und $0$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 4$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x^{4} - 12 x^{2} + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{4}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f'' (x) = 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Da $- 12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 12 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 12$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 24 x + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 24 x + 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $20 x^{3} - 24 x$ und $0$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 24 x$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 4 = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{5} - 4 x^{3} + 4 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 x^{4} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$5 x^{4} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.1.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 4 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 4 + 0$

Schritt 4.1.4.2

Addiere $5 x^{4} - 12 x^{2} + 4$ und $0$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 12 x^{2} + 4$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $5 x^{4} - 12 x^{2} + 4$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 4$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $5 x^{4} - 12 x^{2} + 4 = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 4 = 0$

Schritt 5.2

Setze $u = x^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$5 u^{2} - 12 u + 4 = 0$

$u = x^{2}$

Schritt 5.3

Faktorisiere durch Gruppieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 5 \cdot 4 = 20$ und deren Summe gleich $b = - 12$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1.1

Faktorisiere $- 12$ aus $- 12 u$ heraus.

$5 u^{2} - 12 u + 4 = 0$

Schritt 5.3.1.2

Schreibe $- 12$ um als $- 2$ plus $- 10$

$5 u^{2} + (- 2 - 10) u + 4 = 0$

Schritt 5.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$5 u^{2} - 2 u - 10 u + 4 = 0$

Schritt 5.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(5 u^{2} - 2 u) - 10 u + 4 = 0$

Schritt 5.3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$u (5 u - 2) - 2 (5 u - 2) = 0$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $5 u - 2$ .

$(5 u - 2) (u - 2) = 0$

Schritt 5.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$5 u - 2 = 0$

$u - 2 = 0$

Schritt 5.5

Setze $5 u - 2$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.1

Setze $5 u - 2$ gleich $0$ .

$5 u - 2 = 0$

Schritt 5.5.2

Löse $5 u - 2 = 0$ nach $u$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 u = 2$

Schritt 5.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $5 u = 2$ durch $5$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 u = 2$ durch $5$ .

$\frac{5 u}{5} = \frac{2}{5}$

Schritt 5.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 u}{5} = \frac{2}{5}$

Schritt 5.5.2.2.2.1.2

Dividiere $u$ durch $1$ .

$u = \frac{2}{5}$

Schritt 5.6

Setze $u - 2$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.1

Setze $u - 2$ gleich $0$ .

$u - 2 = 0$

Schritt 5.6.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 2$

Schritt 5.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(5 u - 2) (u - 2) = 0$ wahr machen.

$u = \frac{2}{5}, 2$

Schritt 5.8

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = x^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$x^{2} = \frac{2}{5}$

${(x^{2})}^{1} = 2$

Schritt 5.9

Löse die erste Gleichung nach $x$ auf.

$x^{2} = \frac{2}{5}$

Schritt 5.10

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.10.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{\frac{2}{5}}$

Schritt 5.10.2

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{2}{5}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.10.2.1

Schreibe $\sqrt{\frac{2}{5}}$ als $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$

Schritt 5.10.2.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Schritt 5.10.2.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.10.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 5.10.2.3.2

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Schritt 5.10.2.3.3

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Schritt 5.10.2.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Schritt 5.10.2.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 5.10.2.3.6

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.10.2.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.10.2.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.10.2.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.10.2.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.10.2.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.10.2.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Schritt 5.10.2.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5}$

Schritt 5.10.2.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.10.2.4.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 \cdot 5}}{5}$

Schritt 5.10.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{10}}{5}$

Schritt 5.10.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.10.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{\sqrt{10}}{5}$

Schritt 5.10.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{\sqrt{10}}{5}$

Schritt 5.10.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{\sqrt{10}}{5}, - \frac{\sqrt{10}}{5}$

Schritt 5.11

Löse die zweite Gleichung nach $x$ auf.

${(x^{2})}^{1} = 2$

Schritt 5.12

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.12.1

Entferne die Klammern.

$x^{2} = 2$

Schritt 5.12.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{2}$

Schritt 5.12.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.12.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{2}$

Schritt 5.12.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{2}$

Schritt 5.12.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Schritt 5.13

Die Lösung von $5 x^{4} - 12 x^{2} + 4 = 0$ ist $x = \frac{\sqrt{10}}{5}, - \frac{\sqrt{10}}{5}, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$ .

$x = \frac{\sqrt{10}}{5}, - \frac{\sqrt{10}}{5}, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = \frac{\sqrt{10}}{5}, - \frac{\sqrt{10}}{5}, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{\sqrt{10}}{5}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$20 {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{10}}{5}$ an.

$20 \frac{{\sqrt{10}}^{3}}{5^{3}} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Schritt 9.1.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.2.1

Schreibe ${\sqrt{10}}^{3}$ als $\sqrt{10^{3}}$ um.

$20 \frac{\sqrt{10^{3}}}{5^{3}} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Schritt 9.1.2.2

Potenziere $10$ mit $3$ .

$20 \frac{\sqrt{1000}}{5^{3}} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Schritt 9.1.2.3

Schreibe $1000$ als $10^{2} \cdot 10$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.2.3.1

Faktorisiere $100$ aus $1000$ heraus.

$20 \frac{\sqrt{100 (10)}}{5^{3}} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Schritt 9.1.2.3.2

Schreibe $100$ als $10^{2}$ um.

$20 \frac{\sqrt{10^{2} \cdot 10}}{5^{3}} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Schritt 9.1.2.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$20 \frac{10 \sqrt{10}}{5^{3}} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Schritt 9.1.3

Potenziere $5$ mit $3$ .

$20 \frac{10 \sqrt{10}}{125} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Schritt 9.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.4.1

Faktorisiere $5$ aus $20$ heraus.

$5 (4) \frac{10 \sqrt{10}}{125} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Schritt 9.1.4.2

Faktorisiere $5$ aus $125$ heraus.

$5 \cdot 4 \frac{10 \sqrt{10}}{5 \cdot 25} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Schritt 9.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 \cdot 4 \frac{10 \sqrt{10}}{5 \cdot 25} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Schritt 9.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$4 \frac{10 \sqrt{10}}{25} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Schritt 9.1.5

Kombiniere $4$ und $\frac{10 \sqrt{10}}{25}$ .

$\frac{4 (10 \sqrt{10})}{25} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Schritt 9.1.6

Mutltipliziere $10$ mit $4$ .

$\frac{40 \sqrt{10}}{25} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Schritt 9.1.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $40$ und $25$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.7.1

Faktorisiere $5$ aus $40 \sqrt{10}$ heraus.

$\frac{5 (8 \sqrt{10})}{25} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Schritt 9.1.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.7.2.1

Faktorisiere $5$ aus $25$ heraus.

$\frac{5 (8 \sqrt{10})}{5 (5)} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Schritt 9.1.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 (8 \sqrt{10})}{5 \cdot 5} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Schritt 9.1.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{8 \sqrt{10}}{5} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Schritt 9.1.8

Kombiniere $- 24$ und $\frac{\sqrt{10}}{5}$ .

$\frac{8 \sqrt{10}}{5} + \frac{- 24 \sqrt{10}}{5}$

Schritt 9.1.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{8 \sqrt{10}}{5} - \frac{24 \sqrt{10}}{5}$

Schritt 9.2

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{8 \sqrt{10} - 24 \sqrt{10}}{5}$

Schritt 9.2.2

Subtrahiere $24 \sqrt{10}$ von $8 \sqrt{10}$ .

$\frac{- 16 \sqrt{10}}{5}$

Schritt 9.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{16 \sqrt{10}}{5}$

Schritt 10

$x = \frac{\sqrt{10}}{5}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{\sqrt{10}}{5}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{\sqrt{10}}{5}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{\sqrt{10}}{5}$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{5} - 4 {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{10}}{5}$ an.

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{{\sqrt{10}}^{5}}{5^{5}} - 4 {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Schritt 11.2.1.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1.2.1

Schreibe ${\sqrt{10}}^{5}$ als $\sqrt{10^{5}}$ um.

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{\sqrt{10^{5}}}{5^{5}} - 4 {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Schritt 11.2.1.2.2

Potenziere $10$ mit $5$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{\sqrt{100000}}{5^{5}} - 4 {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Schritt 11.2.1.2.3

Schreibe $100000$ als $100^{2} \cdot 10$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1.2.3.1

Faktorisiere $10000$ aus $100000$ heraus.

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{\sqrt{10000 (10)}}{5^{5}} - 4 {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Schritt 11.2.1.2.3.2

Schreibe $10000$ als $100^{2}$ um.

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{\sqrt{100^{2} \cdot 10}}{5^{5}} - 4 {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Schritt 11.2.1.2.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{100 \sqrt{10}}{5^{5}} - 4 {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Schritt 11.2.1.3

Potenziere $5$ mit $5$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{100 \sqrt{10}}{3125} - 4 {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Schritt 11.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $100$ und $3125$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1.4.1

Faktorisiere $25$ aus $100 \sqrt{10}$ heraus.

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{25 (4 \sqrt{10})}{3125} - 4 {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Schritt 11.2.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1.4.2.1

Faktorisiere $25$ aus $3125$ heraus.

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{25 (4 \sqrt{10})}{25 (125)} - 4 {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Schritt 11.2.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{25 (4 \sqrt{10})}{25 \cdot 125} - 4 {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Schritt 11.2.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Schritt 11.2.1.5

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{10}}{5}$ an.

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 \frac{{\sqrt{10}}^{3}}{5^{3}} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Schritt 11.2.1.6

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1.6.1

Schreibe ${\sqrt{10}}^{3}$ als $\sqrt{10^{3}}$ um.

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 \frac{\sqrt{10^{3}}}{5^{3}} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Schritt 11.2.1.6.2

Potenziere $10$ mit $3$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 \frac{\sqrt{1000}}{5^{3}} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Schritt 11.2.1.6.3

Schreibe $1000$ als $10^{2} \cdot 10$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1.6.3.1

Faktorisiere $100$ aus $1000$ heraus.

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 \frac{\sqrt{100 (10)}}{5^{3}} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Schritt 11.2.1.6.3.2

Schreibe $100$ als $10^{2}$ um.

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 \frac{\sqrt{10^{2} \cdot 10}}{5^{3}} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Schritt 11.2.1.6.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 \frac{10 \sqrt{10}}{5^{3}} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Schritt 11.2.1.7

Potenziere $5$ mit $3$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 \frac{10 \sqrt{10}}{125} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Schritt 11.2.1.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $125$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1.8.1

Faktorisiere $5$ aus $10 \sqrt{10}$ heraus.

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 \frac{5 (2 \sqrt{10})}{125} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Schritt 11.2.1.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1.8.2.1

Faktorisiere $5$ aus $125$ heraus.

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 \frac{5 (2 \sqrt{10})}{5 (25)} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Schritt 11.2.1.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 \frac{5 (2 \sqrt{10})}{5 \cdot 25} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Schritt 11.2.1.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 \frac{2 \sqrt{10}}{25} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Schritt 11.2.1.9

Multipliziere $- 4 \frac{2 \sqrt{10}}{25}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1.9.1

Kombiniere $- 4$ und $\frac{2 \sqrt{10}}{25}$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} + \frac{- 4 (2 \sqrt{10})}{25} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Schritt 11.2.1.9.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} + \frac{- 8 \sqrt{10}}{25} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Schritt 11.2.1.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - \frac{8 \sqrt{10}}{25} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Schritt 11.2.1.11

Kombiniere $4$ und $\frac{\sqrt{10}}{5}$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - \frac{8 \sqrt{10}}{25} + \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

Schritt 11.2.2

Um $- \frac{8 \sqrt{10}}{25}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - \frac{8 \sqrt{10}}{25} \cdot \frac{5}{5} + \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

Schritt 11.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $125$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{8 \sqrt{10}}{25}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - \frac{8 \sqrt{10} \cdot 5}{25 \cdot 5} + \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

Schritt 11.2.3.2

Mutltipliziere $25$ mit $5$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - \frac{8 \sqrt{10} \cdot 5}{125} + \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

Schritt 11.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10} - 8 \sqrt{10} \cdot 5}{125} + \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

Schritt 11.2.5

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.5.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 8$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10} - 40 \sqrt{10}}{125} + \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

Schritt 11.2.5.1.2

Subtrahiere $40 \sqrt{10}$ von $4 \sqrt{10}$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{- 36 \sqrt{10}}{125} + \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

Schritt 11.2.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{36 \sqrt{10}}{125} + \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

Schritt 11.2.6

Um $\frac{4 \sqrt{10}}{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{25}{25}$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{36 \sqrt{10}}{125} + \frac{4 \sqrt{10}}{5} \cdot \frac{25}{25} - 1$

Schritt 11.2.7

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $125$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.7.1

Mutltipliziere $\frac{4 \sqrt{10}}{5}$ mit $\frac{25}{25}$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{36 \sqrt{10}}{125} + \frac{4 \sqrt{10} \cdot 25}{5 \cdot 25} - 1$

Schritt 11.2.7.2

Mutltipliziere $5$ mit $25$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{36 \sqrt{10}}{125} + \frac{4 \sqrt{10} \cdot 25}{125} - 1$

Schritt 11.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{- 36 \sqrt{10} + 4 \sqrt{10} \cdot 25}{125} - 1$

Schritt 11.2.9

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.9.1

Mutltipliziere $25$ mit $4$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{- 36 \sqrt{10} + 100 \sqrt{10}}{125} - 1$

Schritt 11.2.9.2

Addiere $- 36 \sqrt{10}$ und $100 \sqrt{10}$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{64 \sqrt{10}}{125} - 1$

Schritt 11.2.10

Die endgültige Lösung ist $\frac{64 \sqrt{10}}{125} - 1$ .

$y = \frac{64 \sqrt{10}}{125} - 1$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - \frac{\sqrt{10}}{5}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$20 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\sqrt{10}}{5}$ an.

$20 ({(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3}) - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Schritt 13.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{10}}{5}$ an.

$20 ({(- 1)}^{3} \frac{{\sqrt{10}}^{3}}{5^{3}}) - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Schritt 13.1.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$20 (- \frac{{\sqrt{10}}^{3}}{5^{3}}) - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Schritt 13.1.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1.3.1

Schreibe ${\sqrt{10}}^{3}$ als $\sqrt{10^{3}}$ um.

$20 (- \frac{\sqrt{10^{3}}}{5^{3}}) - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Schritt 13.1.3.2

Potenziere $10$ mit $3$ .

$20 (- \frac{\sqrt{1000}}{5^{3}}) - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Schritt 13.1.3.3

Schreibe $1000$ als $10^{2} \cdot 10$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1.3.3.1

Faktorisiere $100$ aus $1000$ heraus.

$20 (- \frac{\sqrt{100 (10)}}{5^{3}}) - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Schritt 13.1.3.3.2

Schreibe $100$ als $10^{2}$ um.

$20 (- \frac{\sqrt{10^{2} \cdot 10}}{5^{3}}) - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Schritt 13.1.3.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$20 (- \frac{10 \sqrt{10}}{5^{3}}) - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Schritt 13.1.4

Potenziere $5$ mit $3$ .

$20 (- \frac{10 \sqrt{10}}{125}) - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Schritt 13.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{10 \sqrt{10}}{125}$ in den Zähler.

$20 \frac{- 10 \sqrt{10}}{125} - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Schritt 13.1.5.2

Faktorisiere $5$ aus $20$ heraus.

$5 (4) \frac{- 10 \sqrt{10}}{125} - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Schritt 13.1.5.3

Faktorisiere $5$ aus $125$ heraus.

$5 \cdot 4 \frac{- 10 \sqrt{10}}{5 \cdot 25} - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Schritt 13.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 \cdot 4 \frac{- 10 \sqrt{10}}{5 \cdot 25} - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Schritt 13.1.5.5

Forme den Ausdruck um.

$4 \frac{- 10 \sqrt{10}}{25} - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Schritt 13.1.6

Kombiniere $4$ und $\frac{- 10 \sqrt{10}}{25}$ .

$\frac{4 (- 10 \sqrt{10})}{25} - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Schritt 13.1.7

Mutltipliziere $- 10$ mit $4$ .

$\frac{- 40 \sqrt{10}}{25} - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Schritt 13.1.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 40$ und $25$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1.8.1

Faktorisiere $5$ aus $- 40 \sqrt{10}$ heraus.

$\frac{5 (- 8 \sqrt{10})}{25} - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Schritt 13.1.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1.8.2.1

Faktorisiere $5$ aus $25$ heraus.

$\frac{5 (- 8 \sqrt{10})}{5 (5)} - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Schritt 13.1.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 (- 8 \sqrt{10})}{5 \cdot 5} - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Schritt 13.1.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 8 \sqrt{10}}{5} - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Schritt 13.1.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{8 \sqrt{10}}{5} - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Schritt 13.1.10

Multipliziere $- 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 24$ .

$- \frac{8 \sqrt{10}}{5} + 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Schritt 13.1.10.2

Kombiniere $24$ und $\frac{\sqrt{10}}{5}$ .

$- \frac{8 \sqrt{10}}{5} + \frac{24 \sqrt{10}}{5}$

Schritt 13.2

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 8 \sqrt{10} + 24 \sqrt{10}}{5}$

Schritt 13.2.2

Addiere $- 8 \sqrt{10}$ und $24 \sqrt{10}$ .

$\frac{16 \sqrt{10}}{5}$

Schritt 14

$x = - \frac{\sqrt{10}}{5}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - \frac{\sqrt{10}}{5}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 15

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - \frac{\sqrt{10}}{5}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{\sqrt{10}}{5}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{5} - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Schritt 15.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\sqrt{10}}{5}$ an.

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = {(- 1)}^{5} {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{5} - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Schritt 15.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{10}}{5}$ an.

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = {(- 1)}^{5} (\frac{{\sqrt{10}}^{5}}{5^{5}}) - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Schritt 15.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $5$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{{\sqrt{10}}^{5}}{5^{5}} - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Schritt 15.2.1.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.1.3.1

Schreibe ${\sqrt{10}}^{5}$ als $\sqrt{10^{5}}$ um.

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{\sqrt{10^{5}}}{5^{5}} - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Schritt 15.2.1.3.2

Potenziere $10$ mit $5$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{\sqrt{100000}}{5^{5}} - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Schritt 15.2.1.3.3

Schreibe $100000$ als $100^{2} \cdot 10$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.1.3.3.1

Faktorisiere $10000$ aus $100000$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{\sqrt{10000 (10)}}{5^{5}} - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Schritt 15.2.1.3.3.2

Schreibe $10000$ als $100^{2}$ um.

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{\sqrt{100^{2} \cdot 10}}{5^{5}} - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Schritt 15.2.1.3.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{100 \sqrt{10}}{5^{5}} - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Schritt 15.2.1.4

Potenziere $5$ mit $5$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{100 \sqrt{10}}{3125} - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Schritt 15.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $100$ und $3125$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.1.5.1

Faktorisiere $25$ aus $100 \sqrt{10}$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{25 (4 \sqrt{10})}{3125} - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Schritt 15.2.1.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.1.5.2.1

Faktorisiere $25$ aus $3125$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{25 (4 \sqrt{10})}{25 (125)} - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Schritt 15.2.1.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{25 (4 \sqrt{10})}{25 \cdot 125} - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Schritt 15.2.1.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Schritt 15.2.1.6

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.1.6.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\sqrt{10}}{5}$ an.

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 ({(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3}) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Schritt 15.2.1.6.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{10}}{5}$ an.

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 ({(- 1)}^{3} (\frac{{\sqrt{10}}^{3}}{5^{3}})) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Schritt 15.2.1.7

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 (- \frac{{\sqrt{10}}^{3}}{5^{3}}) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Schritt 15.2.1.8

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.1.8.1

Schreibe ${\sqrt{10}}^{3}$ als $\sqrt{10^{3}}$ um.

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 (- \frac{\sqrt{10^{3}}}{5^{3}}) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Schritt 15.2.1.8.2

Potenziere $10$ mit $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 (- \frac{\sqrt{1000}}{5^{3}}) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Schritt 15.2.1.8.3

Schreibe $1000$ als $10^{2} \cdot 10$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.1.8.3.1

Faktorisiere $100$ aus $1000$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 (- \frac{\sqrt{100 (10)}}{5^{3}}) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Schritt 15.2.1.8.3.2

Schreibe $100$ als $10^{2}$ um.

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 (- \frac{\sqrt{10^{2} \cdot 10}}{5^{3}}) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Schritt 15.2.1.8.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 (- \frac{10 \sqrt{10}}{5^{3}}) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Schritt 15.2.1.9

Potenziere $5$ mit $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 (- \frac{10 \sqrt{10}}{125}) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Schritt 15.2.1.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $125$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.1.10.1

Faktorisiere $5$ aus $10 \sqrt{10}$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 (- \frac{5 (2 \sqrt{10})}{125}) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Schritt 15.2.1.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.1.10.2.1

Faktorisiere $5$ aus $125$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 (- \frac{5 (2 \sqrt{10})}{5 (25)}) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Schritt 15.2.1.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 (- \frac{5 (2 \sqrt{10})}{5 \cdot 25}) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Schritt 15.2.1.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 (- \frac{2 \sqrt{10}}{25}) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Schritt 15.2.1.11

Multipliziere $- 4 (- \frac{2 \sqrt{10}}{25})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.1.11.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} + 4 (\frac{2 \sqrt{10}}{25}) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Schritt 15.2.1.11.2

Kombiniere $4$ und $\frac{2 \sqrt{10}}{25}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} + \frac{4 (2 \sqrt{10})}{25} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Schritt 15.2.1.11.3

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} + \frac{8 \sqrt{10}}{25} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Schritt 15.2.1.12

Multipliziere $4 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.1.12.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} + \frac{8 \sqrt{10}}{25} - 4 \frac{\sqrt{10}}{5} - 1$

Schritt 15.2.1.12.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{\sqrt{10}}{5}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} + \frac{8 \sqrt{10}}{25} + \frac{- 4 \sqrt{10}}{5} - 1$

Schritt 15.2.1.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} + \frac{8 \sqrt{10}}{25} - \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

Schritt 15.2.2

Um $\frac{8 \sqrt{10}}{25}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} + \frac{8 \sqrt{10}}{25} \cdot \frac{5}{5} - \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

Schritt 15.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $125$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{8 \sqrt{10}}{25}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} + \frac{8 \sqrt{10} \cdot 5}{25 \cdot 5} - \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

Schritt 15.2.3.2

Mutltipliziere $25$ mit $5$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} + \frac{8 \sqrt{10} \cdot 5}{125} - \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

Schritt 15.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{- 4 \sqrt{10} + 8 \sqrt{10} \cdot 5}{125} - \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

Schritt 15.2.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.5.1

Mutltipliziere $5$ mit $8$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{- 4 \sqrt{10} + 40 \sqrt{10}}{125} - \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

Schritt 15.2.5.2

Addiere $- 4 \sqrt{10}$ und $40 \sqrt{10}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{36 \sqrt{10}}{125} - \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

Schritt 15.2.6

Um $- \frac{4 \sqrt{10}}{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{25}{25}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{36 \sqrt{10}}{125} - \frac{4 \sqrt{10}}{5} \cdot \frac{25}{25} - 1$

Schritt 15.2.7

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $125$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.7.1

Mutltipliziere $\frac{4 \sqrt{10}}{5}$ mit $\frac{25}{25}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{36 \sqrt{10}}{125} - \frac{4 \sqrt{10} \cdot 25}{5 \cdot 25} - 1$

Schritt 15.2.7.2

Mutltipliziere $5$ mit $25$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{36 \sqrt{10}}{125} - \frac{4 \sqrt{10} \cdot 25}{125} - 1$

Schritt 15.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{36 \sqrt{10} - 4 \sqrt{10} \cdot 25}{125} - 1$

Schritt 15.2.9

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.9.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.9.1.1

Mutltipliziere $25$ mit $- 4$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{36 \sqrt{10} - 100 \sqrt{10}}{125} - 1$

Schritt 15.2.9.1.2

Subtrahiere $100 \sqrt{10}$ von $36 \sqrt{10}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{- 64 \sqrt{10}}{125} - 1$

Schritt 15.2.9.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{64 \sqrt{10}}{125} - 1$

Schritt 15.2.10

Die endgültige Lösung ist $- \frac{64 \sqrt{10}}{125} - 1$ .

$y = - \frac{64 \sqrt{10}}{125} - 1$

Schritt 16

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \sqrt{2}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$20 {(\sqrt{2})}^{3} - 24 \sqrt{2}$

Schritt 17

Berechne die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 17.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 17.1.1

Schreibe ${\sqrt{2}}^{3}$ als $\sqrt{2^{3}}$ um.

$20 \sqrt{2^{3}} - 24 \sqrt{2}$

Schritt 17.1.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$20 \sqrt{8} - 24 \sqrt{2}$

Schritt 17.1.3

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 17.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$20 \sqrt{4 (2)} - 24 \sqrt{2}$

Schritt 17.1.3.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$20 \sqrt{2^{2} \cdot 2} - 24 \sqrt{2}$

Schritt 17.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$20 (2 \sqrt{2}) - 24 \sqrt{2}$

Schritt 17.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $20$ .

$40 \sqrt{2} - 24 \sqrt{2}$

Schritt 17.2

Subtrahiere $24 \sqrt{2}$ von $40 \sqrt{2}$ .

$16 \sqrt{2}$

Schritt 18

$x = \sqrt{2}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \sqrt{2}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 19

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \sqrt{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 19.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\sqrt{2}$ .

$f (\sqrt{2}) = {(\sqrt{2})}^{5} - 4 {(\sqrt{2})}^{3} + 4 (\sqrt{2}) - 1$

Schritt 19.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 19.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 19.2.1.1

Schreibe ${\sqrt{2}}^{5}$ als $\sqrt{2^{5}}$ um.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2^{5}} - 4 {(\sqrt{2})}^{3} + 4 (\sqrt{2}) - 1$

Schritt 19.2.1.2

Potenziere $2$ mit $5$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{32} - 4 {(\sqrt{2})}^{3} + 4 (\sqrt{2}) - 1$

Schritt 19.2.1.3

Schreibe $32$ als $4^{2} \cdot 2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 19.2.1.3.1

Faktorisiere $16$ aus $32$ heraus.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{16 (2)} - 4 {(\sqrt{2})}^{3} + 4 (\sqrt{2}) - 1$

Schritt 19.2.1.3.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{4^{2} \cdot 2} - 4 {(\sqrt{2})}^{3} + 4 (\sqrt{2}) - 1$

Schritt 19.2.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (\sqrt{2}) = 4 \sqrt{2} - 4 {(\sqrt{2})}^{3} + 4 (\sqrt{2}) - 1$

Schritt 19.2.1.5

Schreibe ${\sqrt{2}}^{3}$ als $\sqrt{2^{3}}$ um.

$f (\sqrt{2}) = 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2^{3}} + 4 (\sqrt{2}) - 1$

Schritt 19.2.1.6

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{8} + 4 (\sqrt{2}) - 1$

Schritt 19.2.1.7

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 19.2.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$f (\sqrt{2}) = 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{4 (2)} + 4 (\sqrt{2}) - 1$

Schritt 19.2.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f (\sqrt{2}) = 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2^{2} \cdot 2} + 4 (\sqrt{2}) - 1$

Schritt 19.2.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (\sqrt{2}) = 4 \sqrt{2} - 4 (2 \sqrt{2}) + 4 (\sqrt{2}) - 1$

Schritt 19.2.1.9

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 \sqrt{2} - 8 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} - 1$

Schritt 19.2.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 19.2.2.1

Subtrahiere $8 \sqrt{2}$ von $4 \sqrt{2}$ .

$f (\sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} - 1$

Schritt 19.2.2.2

Addiere $- 4 \sqrt{2}$ und $4 \sqrt{2}$ .

$f (\sqrt{2}) = 0 - 1$

Schritt 19.2.2.3

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$f (\sqrt{2}) = - 1$

Schritt 19.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 1$ .

$y = - 1$

Schritt 20

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - \sqrt{2}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$20 {(- \sqrt{2})}^{3} - 24 (- \sqrt{2})$

Schritt 21

Berechne die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 21.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 21.1.1

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{2}$ an.

$20 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{3}) - 24 (- \sqrt{2})$

Schritt 21.1.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$20 (- {\sqrt{2}}^{3}) - 24 (- \sqrt{2})$

Schritt 21.1.3

Schreibe ${\sqrt{2}}^{3}$ als $\sqrt{2^{3}}$ um.

$20 (- \sqrt{2^{3}}) - 24 (- \sqrt{2})$

Schritt 21.1.4

Potenziere $2$ mit $3$ .

$20 (- \sqrt{8}) - 24 (- \sqrt{2})$

Schritt 21.1.5

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 21.1.5.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$20 (- \sqrt{4 (2)}) - 24 (- \sqrt{2})$

Schritt 21.1.5.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$20 (- \sqrt{2^{2} \cdot 2}) - 24 (- \sqrt{2})$

Schritt 21.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$20 (- (2 \sqrt{2})) - 24 (- \sqrt{2})$

Schritt 21.1.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$20 (- 2 \sqrt{2}) - 24 (- \sqrt{2})$

Schritt 21.1.8

Mutltipliziere $- 2$ mit $20$ .

$- 40 \sqrt{2} - 24 (- \sqrt{2})$

Schritt 21.1.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 24$ .

$- 40 \sqrt{2} + 24 \sqrt{2}$

Schritt 21.2

Addiere $- 40 \sqrt{2}$ und $24 \sqrt{2}$ .

$- 16 \sqrt{2}$

Schritt 22

$x = - \sqrt{2}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - \sqrt{2}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 23

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - \sqrt{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 23.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = {(- \sqrt{2})}^{5} - 4 {(- \sqrt{2})}^{3} + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Schritt 23.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 23.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 23.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{2}$ an.

$f (- \sqrt{2}) = {(- 1)}^{5} {\sqrt{2}}^{5} - 4 {(- \sqrt{2})}^{3} + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Schritt 23.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $5$ .

$f (- \sqrt{2}) = - {\sqrt{2}}^{5} - 4 {(- \sqrt{2})}^{3} + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Schritt 23.2.1.3

Schreibe ${\sqrt{2}}^{5}$ als $\sqrt{2^{5}}$ um.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2^{5}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{3} + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Schritt 23.2.1.4

Potenziere $2$ mit $5$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{32} - 4 {(- \sqrt{2})}^{3} + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Schritt 23.2.1.5

Schreibe $32$ als $4^{2} \cdot 2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 23.2.1.5.1

Faktorisiere $16$ aus $32$ heraus.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{16 (2)} - 4 {(- \sqrt{2})}^{3} + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Schritt 23.2.1.5.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{4^{2} \cdot 2} - 4 {(- \sqrt{2})}^{3} + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Schritt 23.2.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (- \sqrt{2}) = - (4 \sqrt{2}) - 4 {(- \sqrt{2})}^{3} + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Schritt 23.2.1.7

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2} - 4 {(- \sqrt{2})}^{3} + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Schritt 23.2.1.8

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{2}$ an.

$f (- \sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2} - 4 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{3}) + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Schritt 23.2.1.9

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2} - 4 (- {\sqrt{2}}^{3}) + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Schritt 23.2.1.10

Schreibe ${\sqrt{2}}^{3}$ als $\sqrt{2^{3}}$ um.

$f (- \sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2} - 4 (- \sqrt{2^{3}}) + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Schritt 23.2.1.11

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2} - 4 (- \sqrt{8}) + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Schritt 23.2.1.12

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 23.2.1.12.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$f (- \sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2} - 4 (- \sqrt{4 (2)}) + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Schritt 23.2.1.12.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f (- \sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2} - 4 (- \sqrt{2^{2} \cdot 2}) + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Schritt 23.2.1.13

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (- \sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2} - 4 (- (2 \sqrt{2})) + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Schritt 23.2.1.14

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2} - 4 (- 2 \sqrt{2}) + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Schritt 23.2.1.15

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 4$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2} + 8 \sqrt{2} + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Schritt 23.2.1.16

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2} + 8 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} - 1$

Schritt 23.2.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 23.2.2.1

Addiere $- 4 \sqrt{2}$ und $8 \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} - 1$

Schritt 23.2.2.2

Subtrahiere $4 \sqrt{2}$ von $4 \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 0 - 1$

Schritt 23.2.2.3

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 1$

Schritt 23.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 1$ .

$y = - 1$

Schritt 24

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = x^{5} - 4 x^{3} + 4 x - 1$ .

$(\frac{\sqrt{10}}{5}, \frac{64 \sqrt{10}}{125} - 1)$ ist ein lokales Maximum

$(- \frac{\sqrt{10}}{5}, - \frac{64 \sqrt{10}}{125} - 1)$ ist ein lokales Minimum

$(\sqrt{2}, - 1)$ ist ein lokales Minimum

$(- \sqrt{2}, - 1)$ ist ein lokales Maximum

Schritt 25