Analysis Beispiele

${(e^{x} + 1)}^{2}$

Schritt 1

Schreibe ${(e^{x} + 1)}^{2}$ als Funktion.

$f (x) = {(e^{x} + 1)}^{2}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int {(e^{x} + 1)}^{2} d x$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe ${(e^{x} + 1)}^{2}$ als $(e^{x} + 1) (e^{x} + 1)$ um.

$\int (e^{x} + 1) (e^{x} + 1) d x$

Schritt 4.2

Multipliziere $(e^{x} + 1) (e^{x} + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int e^{x} (e^{x} + 1) + 1 (e^{x} + 1) d x$

Schritt 4.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1 + 1 (e^{x} + 1) d x$

Schritt 4.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1 + 1 e^{x} + 1 \cdot 1 d x$

Schritt 4.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.1

Multipliziere $e^{x}$ mit $e^{x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int e^{x + x} + e^{x} \cdot 1 + 1 e^{x} + 1 \cdot 1 d x$

Schritt 4.3.1.1.2

Addiere $x$ und $x$ .

$\int e^{2 x} + e^{x} \cdot 1 + 1 e^{x} + 1 \cdot 1 d x$

Schritt 4.3.1.2

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$\int e^{2 x} + e^{x} + 1 e^{x} + 1 \cdot 1 d x$

Schritt 4.3.1.3

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$\int e^{2 x} + e^{x} + e^{x} + 1 \cdot 1 d x$

Schritt 4.3.1.4

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\int e^{2 x} + e^{x} + e^{x} + 1 d x$

Schritt 4.3.2

Addiere $e^{x}$ und $e^{x}$ .

$\int e^{2 x} + 2 e^{x} + 1 d x$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int e^{2 x} d x + \int 2 e^{x} d x + \int d x$

Schritt 6

Sei $u = 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.1

Es sei $u = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 6.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 6.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 6.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 6.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int e^{u} \frac{1}{2} d u + \int 2 e^{x} d x + \int d x$

Schritt 7

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{e^{u}}{2} d u + \int 2 e^{x} d x + \int d x$

Schritt 8

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int e^{u} d u + \int 2 e^{x} d x + \int d x$

Schritt 9

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + \int 2 e^{x} d x + \int d x$

Schritt 10

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 \int e^{x} d x + \int d x$

Schritt 11

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 (e^{x} + C) + \int d x$

Schritt 12

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 (e^{x} + C) + x + C$

Schritt 13

Vereinfache.

$\frac{1}{2} e^{u} + 2 e^{x} + x + C$

Schritt 14

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$\frac{1}{2} e^{2 x} + 2 e^{x} + x + C$

Schritt 15

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = {(e^{x} + 1)}^{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} + 2 e^{x} + x + C$