Analysis Beispiele

$\int \frac{6}{5 \sqrt[3]{x}} d x$

Schritt 1

Da $\frac{6}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{6}{5}$ aus dem Integral.

$\frac{6}{5} \int \frac{1}{\sqrt[3]{x}} d x$

Schritt 2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{6}{5} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Schritt 2.2

Bringe $x^{\frac{1}{3}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{6}{5} \int {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x$

Schritt 2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6}{5} \int x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d x$

Schritt 2.3.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 1$ .

$\frac{6}{5} \int x^{\frac{- 1}{3}} d x$

Schritt 2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{6}{5} \int x^{- \frac{1}{3}} d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{1}{3}}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{6}{5} (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C)$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Schreibe $\frac{6}{5} (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C)$ als $\frac{6}{5} \cdot \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$ um.

$\frac{6}{5} \cdot \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $\frac{6}{5}$ mit $\frac{3}{2}$ .

$\frac{6 \cdot 3}{5 \cdot 2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$\frac{18}{5 \cdot 2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 4.2.3

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\frac{18}{10} x^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 4.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $18$ und $10$ .

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Schritt 4.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $18$ heraus.

$\frac{2 (9)}{10} x^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 4.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$\frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 5} x^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 4.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 5} x^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 4.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9}{5} x^{\frac{2}{3}} + C$