Analysis Beispiele

$\int_{0}^{2} π {(4 - 2 x)}^{2} d x$

Schritt 1

Da $π$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $π$ aus dem Integral.

$π \int_{0}^{2} {(4 - 2 x)}^{2} d x$

Schritt 2

Sei $u = 4 - 2 x$ . Dann ist $d u = - 2 d x$ , folglich $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = 4 - 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $4 - 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 - 2 x]$

Schritt 2.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 - 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 2.1.2.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$0 - 2$

Schritt 2.1.4

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$- 2$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 4 - 2 x$ ein.

$u_{lower} = 4 - 2 \cdot 0$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$u_{lower} = 4 + 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $4$ und $0$ .

$u_{lower} = 4$

Schritt 2.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 4 - 2 x$ ein.

$u_{upper} = 4 - 2 \cdot 2$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$u_{upper} = 4 - 4$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$u_{upper} = 0$

Schritt 2.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 0$

Schritt 2.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$π \int_{4}^{0} u^{2} \frac{1}{- 2} d u$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$π \int_{4}^{0} u^{2} (- \frac{1}{2}) d u$

Schritt 3.2

Kombiniere $u^{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$π \int_{4}^{0} - \frac{u^{2}}{2} d u$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$π (- \int_{4}^{0} \frac{u^{2}}{2} d u)$

Schritt 5

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$π (- (\frac{1}{2} \int_{4}^{0} u^{2} d u))$

Schritt 6

Kombiniere $π$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{π}{2} \int_{4}^{0} u^{2} d u$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- \frac{π}{2} \frac{1}{3} u^{3}]_{4}^{0}$

Schritt 8

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 8.1

Berechne $\frac{1}{3} u^{3}$ bei $0$ und $4$ .

$- \frac{π}{2} ((\frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 4^{3})$

Schritt 8.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{π}{2} (\frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot 4^{3})$

Schritt 8.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $0$ .

$- \frac{π}{2} (0 - \frac{1}{3} \cdot 4^{3})$

Schritt 8.2.3

Potenziere $4$ mit $3$ .

$- \frac{π}{2} (0 - \frac{1}{3} \cdot 64)$

Schritt 8.2.4

Mutltipliziere $64$ mit $- 1$ .

$- \frac{π}{2} (0 - 64 (\frac{1}{3}))$

Schritt 8.2.5

Kombiniere $- 64$ und $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{π}{2} (0 + \frac{- 64}{3})$

Schritt 8.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{π}{2} (0 - \frac{64}{3})$

Schritt 8.2.7

Subtrahiere $\frac{64}{3}$ von $0$ .

$- \frac{π}{2} (- \frac{64}{3})$

Schritt 8.2.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{π}{2} \frac{64}{3}$

Schritt 8.2.9

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $1$ .

$\frac{π}{2} \cdot \frac{64}{3}$

Schritt 8.2.10

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{64}{3}$ .

$\frac{π \cdot 64}{2 \cdot 3}$

Schritt 8.2.11

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{π \cdot 64}{6}$

Schritt 8.2.12

Bringe $64$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{64 \cdot π}{6}$

Schritt 8.2.13

Kürze den gemeinsamen Teiler von $64$ und $6$ .

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Schritt 8.2.13.1

Faktorisiere $2$ aus $64 π$ heraus.

$\frac{2 (32 π)}{6}$

Schritt 8.2.13.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.13.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 (32 π)}{2 (3)}$

Schritt 8.2.13.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (32 π)}{2 \cdot 3}$

Schritt 8.2.13.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{32 π}{3}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{32 π}{3}$

Dezimalform:

$33.51032163 \dots$

Schritt 10