Analysis Beispiele

$\cos (5 x + y) = y$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (\cos (5 x + y)) = \frac{d}{d x} (y)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 5 x + y$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $5 x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [5 x + y]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [5 x + y]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $5 x + y$ .

$- \sin (5 x + y) \frac{d}{d x} [5 x + y]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x + y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$- \sin (5 x + y) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.2.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (5 x + y) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \sin (5 x + y) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$- \sin (5 x + y) (5 + \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- \sin (5 x + y) (5 + y')$

Schritt 3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- \sin (5 x + y) (5 + y') = y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Vereinfache $- \sin (5 x + y) (5 + y')$ .

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Schritt 5.1.1.1

Forme um.

$0 + 0 - \sin (5 x + y) (5 + y') = y'$

Schritt 5.1.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$- \sin (5 x + y) (5 + y') = y'$

Schritt 5.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \sin (5 x + y) \cdot 5 - \sin (5 x + y) y' = y'$

Schritt 5.1.1.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1.1.4.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$- 5 \sin (5 x + y) - \sin (5 x + y) y' = y'$

Schritt 5.1.1.4.2

Stelle die Faktoren in $- 5 \sin (5 x + y) - \sin (5 x + y) y'$ um.

$- 5 \sin (5 x + y) - y' \sin (5 x + y) = y'$

Schritt 5.2

Subtrahiere $y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 5 \sin (5 x + y) - y' \sin (5 x + y) - y' = 0$

Schritt 5.3

Addiere $5 \sin (5 x + y)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- y' \sin (5 x + y) - y' = 5 \sin (5 x + y)$

Schritt 5.4

Faktorisiere $y'$ aus $- y' \sin (5 x + y) - y'$ heraus.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $y'$ aus $- y' \sin (5 x + y)$ heraus.

$y' (- 1 \sin (5 x + y)) - y' = 5 \sin (5 x + y)$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $y'$ aus $- y'$ heraus.

$y' (- 1 \sin (5 x + y)) + y' \cdot - 1 = 5 \sin (5 x + y)$

Schritt 5.4.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (- 1 \sin (5 x + y)) + y' \cdot - 1$ heraus.

$y' (- 1 \sin (5 x + y) - 1) = 5 \sin (5 x + y)$

Schritt 5.5

Schreibe $- 1 \sin (5 x + y)$ als $- \sin (5 x + y)$ um.

$y' (- \sin (5 x + y) - 1) = 5 \sin (5 x + y)$

Schritt 5.6

Teile jeden Ausdruck in $y' (- \sin (5 x + y) - 1) = 5 \sin (5 x + y)$ durch $- \sin (5 x + y) - 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.6.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (- \sin (5 x + y) - 1) = 5 \sin (5 x + y)$ durch $- \sin (5 x + y) - 1$ .

$\frac{y' (- \sin (5 x + y) - 1)}{- \sin (5 x + y) - 1} = \frac{5 \sin (5 x + y)}{- \sin (5 x + y) - 1}$

Schritt 5.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- \sin (5 x + y) - 1$ .

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Schritt 5.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (- \sin (5 x + y) - 1)}{- \sin (5 x + y) - 1} = \frac{5 \sin (5 x + y)}{- \sin (5 x + y) - 1}$

Schritt 5.6.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{5 \sin (5 x + y)}{- \sin (5 x + y) - 1}$

Schritt 5.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.6.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sin (5 x + y) - 1$ heraus.

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Schritt 5.6.3.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sin (5 x + y)$ heraus.

$y' = \frac{5 \sin (5 x + y)}{- (\sin (5 x + y)) - 1}$

Schritt 5.6.3.1.2

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$y' = \frac{5 \sin (5 x + y)}{- (\sin (5 x + y)) - 1 (1)}$

Schritt 5.6.3.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\sin (5 x + y)) - 1 (1)$ heraus.

$y' = \frac{5 \sin (5 x + y)}{- (\sin (5 x + y) + 1)}$

Schritt 5.6.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{5 \sin (5 x + y)}{\sin (5 x + y) + 1}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{5 \sin (5 x + y)}{\sin (5 x + y) + 1}$