Analysis Beispiele

$f (x) = x^{3} + x + 7$ ;, $(- 2, - 3)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = - 2$ und $y = - 3$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + x + 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 x^{2} + 1 + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 1.4

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 x^{2} + 1 + 0$

Schritt 1.5

Addiere $3 x^{2} + 1$ und $0$ .

$3 x^{2} + 1$

Schritt 1.6

Bestimme die Ableitung bei $x = - 2$ .

$3 {(- 2)}^{2} + 1$

Schritt 1.7

Vereinfache.

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Schritt 1.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.7.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$3 \cdot 4 + 1$

Schritt 1.7.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$12 + 1$

Schritt 1.7.2

Addiere $12$ und $1$ .

$13$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $13$ und einen gegebenen Punkt $(- 2, - 3)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (- 3) = 13 \cdot (x - (- 2))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + 3 = 13 \cdot (x + 2)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $13 \cdot (x + 2)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y + 3 = 0 + 0 + 13 \cdot (x + 2)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y + 3 = 13 \cdot (x + 2)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y + 3 = 13 x + 13 \cdot 2$

Schritt 2.3.1.4

Mutltipliziere $13$ mit $2$ .

$y + 3 = 13 x + 26$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = 13 x + 26 - 3$

Schritt 2.3.2.2

Subtrahiere $3$ von $26$ .

$y = 13 x + 23$

Schritt 3