Analysis Beispiele

Let $g (x) = x^{4} - x^{5}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - x^{5}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{5}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$4 x^{3} - \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$4 x^{3} - (5 x^{4})$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$4 x^{3} - 5 x^{4}$

Schritt 1.3

Stelle die Terme um.

$- 5 x^{4} + 4 x^{3}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 5 x^{4} + 4 x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

$g'' (x) = \frac{d}{d x} (- 5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3})$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x^{4}$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$g'' (x) = - 5 \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (4 x^{3})$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$g'' (x) = - 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3})$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 5$ .

$g'' (x) = - 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (4 x^{3})$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{3}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$g'' (x) = - 20 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} (x^{3})$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$g'' (x) = - 20 x^{3} + 4 (3 x^{2})$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$g'' (x) = - 20 x^{3} + 12 x^{2}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- 5 x^{4} + 4 x^{3} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Differenziere.

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Schritt 4.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - x^{5}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$

Schritt 4.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{5}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$4 x^{3} - \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$4 x^{3} - (5 x^{4})$

Schritt 4.1.2.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$4 x^{3} - 5 x^{4}$

Schritt 4.1.3

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - 5 x^{4} + 4 x^{3}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $g (x)$ nach $x$ ist $- 5 x^{4} + 4 x^{3}$ .

$- 5 x^{4} + 4 x^{3}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 5 x^{4} + 4 x^{3} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- 5 x^{4} + 4 x^{3} = 0$

Schritt 5.2

Faktorisiere $- x^{3}$ aus $- 5 x^{4} + 4 x^{3}$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $- x^{3}$ aus $- 5 x^{4}$ heraus.

$- x^{3} (5 x) + 4 x^{3} = 0$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $- x^{3}$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$- x^{3} (5 x) - x^{3} \cdot - 4 = 0$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $- x^{3}$ aus $- x^{3} (5 x) - x^{3} (- 4)$ heraus.

$- x^{3} (5 x - 4) = 0$

Schritt 5.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{3} = 0$

$5 x - 4 = 0$

Schritt 5.4

Setze $x^{3}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.4.1

Setze $x^{3}$ gleich $0$ .

$x^{3} = 0$

Schritt 5.4.2

Löse $x^{3} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.4.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \sqrt[3]{0}$

Schritt 5.4.2.2

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 5.4.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 5.4.2.2.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x = 0$

Schritt 5.5

Setze $5 x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.5.1

Setze $5 x - 4$ gleich $0$ .

$5 x - 4 = 0$

Schritt 5.5.2

Löse $5 x - 4 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.5.2.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 x = 4$

Schritt 5.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 4$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 4$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{4}{5}$

Schritt 5.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{4}{5}$

Schritt 5.5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{4}{5}$

Schritt 5.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- x^{3} (5 x - 4) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{4}{5}$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 0, \frac{4}{5}$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 20 {(0)}^{3} + 12 {(0)}^{2}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- 20 \cdot 0 + 12 {(0)}^{2}$

Schritt 9.1.2

Mutltipliziere $- 20$ mit $0$ .

$0 + 12 {(0)}^{2}$

Schritt 9.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 + 12 \cdot 0$

Schritt 9.1.4

Mutltipliziere $12$ mit $0$ .

$0 + 0$

Schritt 9.2

Addiere $0$ und $0$ .

$0$

Schritt 10

Da es mindestens einen Punkt mit $0$ oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.

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Schritt 10.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{4}{5}) \cup (\frac{4}{5}, \infty)$

Schritt 10.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 2$ , aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die erste Ableitung $- 5 x^{4} + 4 x^{3}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 10.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$g' (- 2) = - 5 {(- 2)}^{4} + 4 {(- 2)}^{3}$

Schritt 10.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 10.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.2.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $4$ .

$g' (- 2) = - 5 \cdot 16 + 4 {(- 2)}^{3}$

Schritt 10.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $16$ .

$g' (- 2) = - 80 + 4 {(- 2)}^{3}$

Schritt 10.2.2.1.3

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$g' (- 2) = - 80 + 4 \cdot - 8$

Schritt 10.2.2.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $- 8$ .

$g' (- 2) = - 80 - 32$

Schritt 10.2.2.2

Subtrahiere $32$ von $- 80$ .

$g' (- 2) = - 112$

Schritt 10.2.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 112$ .

$- 112$

Schritt 10.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $0.4$ , aus dem Intervall $(0, \frac{4}{5})$ in die erste Ableitung $- 5 x^{4} + 4 x^{3}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 10.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.4$ .

$g' (0.4) = - 5 {(0.4)}^{4} + 4 {(0.4)}^{3}$

Schritt 10.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 10.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.3.2.1.1

Potenziere $0.4$ mit $4$ .

$g' (0.4) = - 5 \cdot 0.0256 + 4 {(0.4)}^{3}$

Schritt 10.3.2.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $0.0256$ .

$g' (0.4) = - 0.128 + 4 {(0.4)}^{3}$

Schritt 10.3.2.1.3

Potenziere $0.4$ mit $3$ .

$g' (0.4) = - 0.128 + 4 \cdot 0.064$

Schritt 10.3.2.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $0.064$ .

$g' (0.4) = - 0.128 + 0.256$

Schritt 10.3.2.2

Addiere $- 0.128$ und $0.256$ .

$g' (0.4) = 0.128$

Schritt 10.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $0.128$ .

$0.128$

Schritt 10.4

Setze eine beliebige Zahl, wie $3$ , aus dem Intervall $(\frac{4}{5}, \infty)$ in die erste Ableitung $- 5 x^{4} + 4 x^{3}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 10.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$g' (3) = - 5 {(3)}^{4} + 4 {(3)}^{3}$

Schritt 10.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 10.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.4.2.1.1

Potenziere $3$ mit $4$ .

$g' (3) = - 5 \cdot 81 + 4 {(3)}^{3}$

Schritt 10.4.2.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $81$ .

$g' (3) = - 405 + 4 {(3)}^{3}$

Schritt 10.4.2.1.3

Potenziere $3$ mit $3$ .

$g' (3) = - 405 + 4 \cdot 27$

Schritt 10.4.2.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $27$ .

$g' (3) = - 405 + 108$

Schritt 10.4.2.2

Addiere $- 405$ und $108$ .

$g' (3) = - 297$

Schritt 10.4.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 297$ .

$- 297$

Schritt 10.5

Da die erste Ableitung um $x = 0$ herum das Vorzeichen von negativ zu positiv gewechselt hat, ist $x = 0$ ein lokales Minimum.

$x = 0$ ist ein lokales Minimum

Schritt 10.6

Da die erste Ableitung um $x = \frac{4}{5}$ herum das Vorzeichen von positiv zu negativ gewechselt hat, ist $x = \frac{4}{5}$ ein lokales Maximum.

$x = \frac{4}{5}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 10.7

Dies sind die lokalen Extrema für $g (x) = x^{4} - x^{5}$ .

$x = 0$ ist ein lokales Minimum

$x = \frac{4}{5}$ ist ein lokales Maximum

$x = 0$ ist ein lokales Minimum

$x = \frac{4}{5}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 11