Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8^{+}} \frac{\sqrt{x - 8}}{x}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8^{+}} \sqrt{x - 8}}{lim_{x \to 8^{+}} x}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8^{+}} x - 8}}{lim_{x \to 8^{+}} x}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8^{+}} x - lim_{x \to 8^{+}} 8}}{lim_{x \to 8^{+}} x}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $8$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8^{+}} x - 1 \cdot 8}}{lim_{x \to 8^{+}} x}$

Schritt 5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{8 - 1 \cdot 8}}{lim_{x \to 8^{+}} x}$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{8 - 1 \cdot 8}}{8}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$\frac{\sqrt{8 - 8}}{8}$

Schritt 6.1.2

Subtrahiere $8$ von $8$ .

$\frac{\sqrt{0}}{8}$

Schritt 6.1.3

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{0^{2}}}{8}$

Schritt 6.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{0}{8}$

Schritt 6.2

Dividiere $0$ durch $8$ .

$0$