Analysis Beispiele

$f (x) = \cos (x^{2})$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \sin (x^{2}) (2 x)$

Schritt 1.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 \sin (x^{2}) x$

Schritt 1.2.2.2

Stelle die Faktoren von $- 2 \sin (x^{2}) x$ um.

$f' (x) = - 2 x \sin (x^{2})$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x \sin (x^{2})$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x \sin (x^{2})]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x \sin (x^{2})]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \sin (x^{2})$ .

$- 2 (x \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})] + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$- 2 (x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$- 2 (x (\cos (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$- 2 (x (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 2 (x (\cos (x^{2}) (2 x)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 2 (x^{1} x (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 2 (x^{1} x^{1} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 2 (x^{1 + 1} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.8.1

Addiere $1$ und $1$ .

$- 2 (x^{2} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.8.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (x^{2})$ .

$- 2 (x^{2} (2 \cdot \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 (x^{2} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) \cdot 1)$

Schritt 2.10

Mutltipliziere $\sin (x^{2})$ mit $1$ .

$- 2 (x^{2} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}))$

Schritt 2.11

Vereinfache.

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Schritt 2.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 (x^{2} (2 \cos (x^{2}))) - 2 \sin (x^{2})$

Schritt 2.11.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = - 4 x^{2} \cos (x^{2}) - 2 \sin (x^{2})$

Schritt 3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 4 x^{2} \cos (x^{2}) - 2 \sin (x^{2})$ .

$- 4 x^{2} \cos (x^{2}) - 2 \sin (x^{2})$