Analysis Beispiele

$y = \frac{1}{2} {(x - 6)}^{2}$

Schritt 1

Schreibe ${(x - 6)}^{2}$ als $(x - 6) (x - 6)$ um.

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot ((x - 6) (x - 6))$

Schritt 2

Multipliziere $(x - 6) (x - 6)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x (x - 6) - 6 (x - 6))$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 (x - 6))$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6)$

Schritt 3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6)$

Schritt 3.1.2

Bringe $- 6$ auf die linke Seite von $x$ .

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - 6 \cdot x - 6 x - 6 \cdot - 6)$

Schritt 3.1.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 6$ .

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - 6 x - 6 x + 36)$

Schritt 3.2

Subtrahiere $6 x$ von $- 6 x$ .

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - 12 x + 36)$

Schritt 4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \cdot (- 12 x) + \frac{1}{2} \cdot 36$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- 12 x) + \frac{1}{2} \cdot 36$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 12 x$ heraus.

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 (- 6 x)) + \frac{1}{2} \cdot 36$

Schritt 5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 (- 6 x)) + \frac{1}{2} \cdot 36$

Schritt 5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} - 6 x + \frac{1}{2} \cdot 36$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $2$ aus $36$ heraus.

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} - 6 x + \frac{1}{2} \cdot (2 (18))$

Schritt 5.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} - 6 x + \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 18)$

Schritt 5.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} - 6 x + 18$

Schritt 6

Das Minimum einer quadratischen Funktion tritt bei $x = - \frac{b}{2 a}$ auf. Wenn $a$ positiv ist, ist der Minimalwert der Funktion $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{min}$ $x = a x^{2} + b x + c$ tritt auf bei $x = - \frac{b}{2 a}$

Schritt 7

Ermittele den Wert von $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 7.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ ein.

$x = - \frac{- 6}{2 (0.5)}$

Schritt 7.2

Entferne die Klammern.

$x = - \frac{- 6}{2 (0.5)}$

Schritt 7.3

Vereinfache $- \frac{- 6}{2 (0.5)}$ .

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Schritt 7.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $2$ .

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Schritt 7.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$x = - \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 0.5}$

Schritt 7.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 0.5$ heraus.

$x = - \frac{2 \cdot - 3}{2 (0.5)}$

Schritt 7.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 0.5}$

Schritt 7.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = - \frac{- 3}{0.5}$

Schritt 7.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.3.2.1

Dividiere $- 3$ durch $0.5$ .

$x = - - 6$

Schritt 7.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 6$ .

$x = 6$

Schritt 8

Berechne $f (6)$ .

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $6$ .

$f (6) = \frac{{(6)}^{2}}{2} - 6 \cdot 6 + 18$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$f (6) = \frac{36}{2} - 6 \cdot 6 + 18$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $36$ durch $2$ .

$f (6) = 18 - 6 \cdot 6 + 18$

Schritt 8.2.1.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $6$ .

$f (6) = 18 - 36 + 18$

Schritt 8.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 8.2.2.1

Subtrahiere $36$ von $18$ .

$f (6) = - 18 + 18$

Schritt 8.2.2.2

Addiere $- 18$ und $18$ .

$f (6) = 0$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 9

Benutze die $x$ - und $y$ -Werte, um zu ermitteln, wo das Minimum auftritt.

$(6, 0)$

Schritt 10