Analysis Beispiele

$2 y^{3} + 4 x^{2} - y = x^{6}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (2 y^{3} + 4 x^{2} - y) = \frac{d}{d y} (x^{6})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 y^{3} + 4 x^{2} - y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [2 y^{3}] + \frac{d}{d y} [4 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y^{3}] + \frac{d}{d y} [4 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d y} [2 y^{3}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 y^{3}$ nach $y$ gleich $2 \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [4 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$2 (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [4 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 y^{2} + \frac{d}{d y} [4 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d y} [4 x^{2}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2}$ nach $y$ gleich $4 \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$6 y^{2} + 4 \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{2}$ und $g (y) = x$ .

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Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x$ .

$6 y^{2} + 4 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- y]$

Schritt 2.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$6 y^{2} + 4 (2 u \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- y]$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$6 y^{2} + 4 (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- y]$

Schritt 2.3.3

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$6 y^{2} + 4 (2 x x') + \frac{d}{d y} [- y]$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$6 y^{2} + 8 x x' + \frac{d}{d y} [- y]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d y} [- y]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$6 y^{2} + 8 x x' - \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 y^{2} + 8 x x' - 1 \cdot 1$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$6 y^{2} + 8 x x' - 1$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{6}$ und $g (y) = x$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$6 u^{5} \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$6 x^{5} \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 3.2

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$6 x^{5} x'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$6 y^{2} + 8 x x' - 1 = 6 x^{5} x'$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $6 x^{5} x'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 y^{2} + 8 x x' - 1 - 6 x^{5} x' = 0$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die nicht $x'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $6 y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$8 x x' - 1 - 6 x^{5} x' = - 6 y^{2}$

Schritt 5.2.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$8 x x' - 6 x^{5} x' = - 6 y^{2} + 1$

Schritt 5.3

Faktorisiere $2 x x'$ aus $8 x x' - 6 x^{5} x'$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $2 x x'$ aus $8 x x'$ heraus.

$2 x x' \cdot 4 - 6 x^{5} x' = - 6 y^{2} + 1$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $2 x x'$ aus $- 6 x^{5} x'$ heraus.

$2 x x' \cdot 4 + 2 x x' (- 3 x^{4}) = - 6 y^{2} + 1$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $2 x x'$ aus $2 x x' \cdot 4 + 2 x x' (- 3 x^{4})$ heraus.

$2 x x' (4 - 3 x^{4}) = - 6 y^{2} + 1$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $2 x x' (4 - 3 x^{4}) = - 6 y^{2} + 1$ durch $2 x (4 - 3 x^{4})$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x x' (4 - 3 x^{4}) = - 6 y^{2} + 1$ durch $2 x (4 - 3 x^{4})$ .

$\frac{2 x x' (4 - 3 x^{4})}{2 x (4 - 3 x^{4})} = \frac{- 6 y^{2}}{2 x (4 - 3 x^{4})} + \frac{1}{2 x (4 - 3 x^{4})}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x x' (4 - 3 x^{4})}{2 x (4 - 3 x^{4})} = \frac{- 6 y^{2}}{2 x (4 - 3 x^{4})} + \frac{1}{2 x (4 - 3 x^{4})}$

Schritt 5.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x x' (4 - 3 x^{4})}{x (4 - 3 x^{4})} = \frac{- 6 y^{2}}{2 x (4 - 3 x^{4})} + \frac{1}{2 x (4 - 3 x^{4})}$

Schritt 5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x x' (4 - 3 x^{4})}{x (4 - 3 x^{4})} = \frac{- 6 y^{2}}{2 x (4 - 3 x^{4})} + \frac{1}{2 x (4 - 3 x^{4})}$

Schritt 5.4.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x' (4 - 3 x^{4})}{4 - 3 x^{4}} = \frac{- 6 y^{2}}{2 x (4 - 3 x^{4})} + \frac{1}{2 x (4 - 3 x^{4})}$

Schritt 5.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4 - 3 x^{4}$ .

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Schritt 5.4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x' (4 - 3 x^{4})}{4 - 3 x^{4}} = \frac{- 6 y^{2}}{2 x (4 - 3 x^{4})} + \frac{1}{2 x (4 - 3 x^{4})}$

Schritt 5.4.2.3.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{- 6 y^{2}}{2 x (4 - 3 x^{4})} + \frac{1}{2 x (4 - 3 x^{4})}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $2$ .

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Schritt 5.4.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6 y^{2}$ heraus.

$x' = \frac{2 (- 3 y^{2})}{2 x (4 - 3 x^{4})} + \frac{1}{2 x (4 - 3 x^{4})}$

Schritt 5.4.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.3.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x (4 - 3 x^{4})$ heraus.

$x' = \frac{2 (- 3 y^{2})}{2 (x (4 - 3 x^{4}))} + \frac{1}{2 x (4 - 3 x^{4})}$

Schritt 5.4.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x' = \frac{2 (- 3 y^{2})}{2 (x (4 - 3 x^{4}))} + \frac{1}{2 x (4 - 3 x^{4})}$

Schritt 5.4.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x' = \frac{- 3 y^{2}}{x (4 - 3 x^{4})} + \frac{1}{2 x (4 - 3 x^{4})}$

Schritt 5.4.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x' = - \frac{3 y^{2}}{x (4 - 3 x^{4})} + \frac{1}{2 x (4 - 3 x^{4})}$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{3 y^{2}}{x (4 - 3 x^{4})} + \frac{1}{2 x (4 - 3 x^{4})}$