Analysis Beispiele

$- y^{3} - 4 x^{2} = - 4 x^{3}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (- y^{3} - 4 x^{2}) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{3})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- y^{3} - 4 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Schritt 2.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$- (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 y^{2} y' - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 3 y^{2} y' - 4 (2 x)$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$- 3 y^{2} y' - 8 x$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 4 (3 x^{2})$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$- 12 x^{2}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- 3 y^{2} y' - 8 x = - 12 x^{2}$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Addiere $8 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 y^{2} y' = - 12 x^{2} + 8 x$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $- 3 y^{2} y' = - 12 x^{2} + 8 x$ durch $- 3 y^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 y^{2} y' = - 12 x^{2} + 8 x$ durch $- 3 y^{2}$ .

$\frac{- 3 y^{2} y'}{- 3 y^{2}} = \frac{- 12 x^{2}}{- 3 y^{2}} + \frac{8 x}{- 3 y^{2}}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 y^{2} y'}{- 3 y^{2}} = \frac{- 12 x^{2}}{- 3 y^{2}} + \frac{8 x}{- 3 y^{2}}$

Schritt 5.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{- 12 x^{2}}{- 3 y^{2}} + \frac{8 x}{- 3 y^{2}}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{- 12 x^{2}}{- 3 y^{2}} + \frac{8 x}{- 3 y^{2}}$

Schritt 5.2.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 12 x^{2}}{- 3 y^{2}} + \frac{8 x}{- 3 y^{2}}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 12$ und $- 3$ .

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Schritt 5.2.3.1.1.1

Faktorisiere $- 3$ aus $- 12 x^{2}$ heraus.

$y' = \frac{- 3 (4 x^{2})}{- 3 y^{2}} + \frac{8 x}{- 3 y^{2}}$

Schritt 5.2.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.1.1.2.1

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{- 3 (4 x^{2})}{- 3 (y^{2})} + \frac{8 x}{- 3 y^{2}}$

Schritt 5.2.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{- 3 (4 x^{2})}{- 3 y^{2}} + \frac{8 x}{- 3 y^{2}}$

Schritt 5.2.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{4 x^{2}}{y^{2}} + \frac{8 x}{- 3 y^{2}}$

Schritt 5.2.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{4 x^{2}}{y^{2}} - \frac{8 x}{3 y^{2}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x^{2}}{y^{2}} - \frac{8 x}{3 y^{2}}$