Analysis Beispiele

$y = \frac{2 x^{2} - 1}{5 x + 2}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{2 x^{2} - 1}{5 x + 2})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 2 x^{2} - 1$ und $g (x) = 5 x + 2$ .

$\frac{(5 x + 2) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1] - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{2} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(5 x + 2) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(5 x + 2) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(5 x + 2) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{(5 x + 2) (4 x + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(5 x + 2) (4 x + 0) - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.6.1

Addiere $4 x$ und $0$ .

$\frac{(5 x + 2) (4 x) - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.2.6.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $5 x + 2$ .

$\frac{4 \cdot (5 x + 2) x - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{4 (5 x + 2) x - (2 x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.2.8

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 (5 x + 2) x - (2 x^{2} - 1) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{4 (5 x + 2) x - (2 x^{2} - 1) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.2.10

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\frac{4 (5 x + 2) x - (2 x^{2} - 1) (5 + \frac{d}{d x} [2])}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.2.11

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{4 (5 x + 2) x - (2 x^{2} - 1) (5 + 0)}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.2.12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.12.1

Addiere $5$ und $0$ .

$\frac{4 (5 x + 2) x - (2 x^{2} - 1) \cdot 5}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.2.12.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\frac{4 (5 x + 2) x - 5 (2 x^{2} - 1)}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(4 (5 x) + 4 \cdot 2) x - 5 (2 x^{2} - 1)}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 (5 x) x + 4 \cdot 2 x - 5 (2 x^{2} - 1)}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 (5 x) x + 4 \cdot 2 x - 5 (2 x^{2}) - 5 \cdot - 1}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.4.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.4.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{4 (5 (x \cdot x)) + 4 \cdot 2 x - 5 (2 x^{2}) - 5 \cdot - 1}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.3.4.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{4 (5 x^{2}) + 4 \cdot 2 x - 5 (2 x^{2}) - 5 \cdot - 1}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.3.4.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$\frac{20 x^{2} + 4 \cdot 2 x - 5 (2 x^{2}) - 5 \cdot - 1}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.3.4.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{20 x^{2} + 8 x - 5 (2 x^{2}) - 5 \cdot - 1}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.3.4.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$\frac{20 x^{2} + 8 x - 10 x^{2} - 5 \cdot - 1}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.3.4.1.5

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$\frac{20 x^{2} + 8 x - 10 x^{2} + 5}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.3.4.2

Subtrahiere $10 x^{2}$ von $20 x^{2}$ .

$\frac{10 x^{2} + 8 x + 5}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{10 x^{2} + 8 x + 5}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{10 x^{2} + 8 x + 5}{{(5 x + 2)}^{2}}$