Analysis Beispiele

$lim_{n \to \infty} \frac{4 n^{2}}{n^{2} + 10000 n}$

Schritt 1

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $n$ ist.

$4 lim_{n \to \infty} \frac{n^{2}}{n^{2} + 10000 n}$

Schritt 2

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $n$ im Nenner, was $n^{2}$ ist.

$4 lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^{2}}{n^{2}}}{\frac{n^{2}}{n^{2}} + \frac{10000 n}{n^{2}}}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $n^{2}$ .

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^{2}}{n^{2}}}{\frac{n^{2}}{n^{2}} + \frac{10000 n}{n^{2}}}$

Schritt 3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$4 lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{n^{2}}{n^{2}} + \frac{10000 n}{n^{2}}}$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $n^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{n^{2}}{n^{2}} + \frac{10000 n}{n^{2}}}$

Schritt 3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$4 lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{10000 n}{n^{2}}}$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $n$ und $n^{2}$ .

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Schritt 3.2.2.1

Faktorisiere $n$ aus $10000 n$ heraus.

$4 lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{n \cdot 10000}{n^{2}}}$

Schritt 3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.2.2.1

Faktorisiere $n$ aus $n^{2}$ heraus.

$4 lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{n \cdot 10000}{n \cdot n}}$

Schritt 3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{n \cdot 10000}{n \cdot n}}$

Schritt 3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$4 lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{10000}{n}}$

Schritt 3.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $\infty$ annähert.

$4 \frac{lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 1 + \frac{10000}{n}}$

Schritt 3.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $n$ sich $\infty$ annähert.

$4 \frac{1}{lim_{n \to \infty} 1 + \frac{10000}{n}}$

Schritt 3.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $\infty$ annähert.

$4 \frac{1}{lim_{n \to \infty} 1 + lim_{n \to \infty} \frac{10000}{n}}$

Schritt 3.6

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $n$ sich $\infty$ annähert.

$4 \frac{1}{1 + lim_{n \to \infty} \frac{10000}{n}}$

Schritt 3.7

Ziehe den Term $10000$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $n$ ist.

$4 \frac{1}{1 + 10000 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}}$

Schritt 4

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{n}$ $0$ .

$4 \frac{1}{1 + 10000 \cdot 0}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.1.1

Mutltipliziere $10000$ mit $0$ .

$4 \frac{1}{1 + 0}$

Schritt 5.1.2

Addiere $1$ und $0$ .

$4 (\frac{1}{1})$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 (\frac{1}{1})$

Schritt 5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4 \cdot 1$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4$