Analysis Beispiele

$lim_{x \to - 1} \frac{1 - \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}}{1 + x}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to - 1} 1 - \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}}{lim_{x \to - 1} 1 + x}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 1} 1 - lim_{x \to - 1} \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}}{lim_{x \to - 1} 1 + x}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 1$ annähert.

$\frac{1 - lim_{x \to - 1} \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}}{lim_{x \to - 1} 1 + x}$

Schritt 1.1.2.3

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{1 - \sqrt{lim_{x \to - 1} x^{2} + 2 x + 2}}{lim_{x \to - 1} 1 + x}$

Schritt 1.1.2.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 1$ annähert.

$\frac{1 - \sqrt{lim_{x \to - 1} x^{2} + lim_{x \to - 1} 2 x + lim_{x \to - 1} 2}}{lim_{x \to - 1} 1 + x}$

Schritt 1.1.2.5

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1 - \sqrt{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + lim_{x \to - 1} 2 x + lim_{x \to - 1} 2}}{lim_{x \to - 1} 1 + x}$

Schritt 1.1.2.6

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1 - \sqrt{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 2}}{lim_{x \to - 1} 1 + x}$

Schritt 1.1.2.7

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 1$ annähert.

$\frac{1 - \sqrt{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 1} x + 2}}{lim_{x \to - 1} 1 + x}$

Schritt 1.1.2.8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 1$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.2.8.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

$\frac{1 - \sqrt{{(- 1)}^{2} + 2 lim_{x \to - 1} x + 2}}{lim_{x \to - 1} 1 + x}$

Schritt 1.1.2.8.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

$\frac{1 - \sqrt{{(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1 + 2}}{lim_{x \to - 1} 1 + x}$

Schritt 1.1.2.9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.9.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1 - \sqrt{1 + 2 \cdot - 1 + 2}}{lim_{x \to - 1} 1 + x}$

Schritt 1.1.2.9.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1 - \sqrt{1 - 2 + 2}}{lim_{x \to - 1} 1 + x}$

Schritt 1.1.2.9.1.3

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{- 1 + 2}}{lim_{x \to - 1} 1 + x}$

Schritt 1.1.2.9.1.4

Addiere $- 1$ und $2$ .

$\frac{1 - \sqrt{1}}{lim_{x \to - 1} 1 + x}$

Schritt 1.1.2.9.1.5

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - 1} 1 + x}$

Schritt 1.1.2.9.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to - 1} 1 + x}$

Schritt 1.1.2.9.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} 1 + x}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 1$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} 1 + lim_{x \to - 1} x}$

Schritt 1.1.3.1.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 1$ annähert.

$\frac{0}{1 + lim_{x \to - 1} x}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Schritt 1.1.3.3

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to - 1} \frac{1 - \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}}{1 + x} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}]}{\frac{d}{d x} [1 + x]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}]}{\frac{d}{d x} [1 + x]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}]}{\frac{d}{d x} [1 + x]}$

Schritt 1.3.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}]}{\frac{d}{d x} [1 + x]}$

Schritt 1.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}]$ .

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Schritt 1.3.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} + 2 x + 2}$ als ${(x^{2} + 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$lim_{x \to - 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- {(x^{2} + 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [1 + x]}$

Schritt 1.3.4.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- {(x^{2} + 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{0 - \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [1 + x]}$

Schritt 1.3.4.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x^{2} + 2 x + 2$ .

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Schritt 1.3.4.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 2 x + 2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 2])}{\frac{d}{d x} [1 + x]}$

Schritt 1.3.4.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 2])}{\frac{d}{d x} [1 + x]}$

Schritt 1.3.4.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 2 x + 2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 2])}{\frac{d}{d x} [1 + x]}$

Schritt 1.3.4.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 2 x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]))}{\frac{d}{d x} [1 + x]}$

Schritt 1.3.4.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]))}{\frac{d}{d x} [1 + x]}$

Schritt 1.3.4.6

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]))}{\frac{d}{d x} [1 + x]}$

Schritt 1.3.4.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]))}{\frac{d}{d x} [1 + x]}$

Schritt 1.3.4.8

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 2 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [1 + x]}$

Schritt 1.3.4.9

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 x + 2 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [1 + x]}$

Schritt 1.3.4.10

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 2 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [1 + x]}$

Schritt 1.3.4.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to - 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 2 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [1 + x]}$

Schritt 1.3.4.12

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.4.12.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 x + 2 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [1 + x]}$

Schritt 1.3.4.12.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x + 2)}^{\frac{- 1}{2}} (2 x + 2 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [1 + x]}$

Schritt 1.3.4.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to - 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x + 2)}^{- \frac{1}{2}} (2 x + 2 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [1 + x]}$

Schritt 1.3.4.14

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x + 2)}^{- \frac{1}{2}} (2 x + 2 + 0))}{\frac{d}{d x} [1 + x]}$

Schritt 1.3.4.15

Addiere $2 x + 2$ und $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x + 2)}^{- \frac{1}{2}} (2 x + 2))}{\frac{d}{d x} [1 + x]}$

Schritt 1.3.4.16

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x^{2} + 2 x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{0 - (\frac{{(x^{2} + 2 x + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 x + 2))}{\frac{d}{d x} [1 + x]}$

Schritt 1.3.4.17

Bringe ${(x^{2} + 2 x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{0 - \frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 2)}{\frac{d}{d x} [1 + x]}$

Schritt 1.3.5

Vereinfache.

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Schritt 1.3.5.1

Subtrahiere $\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 2)$ von $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- \frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 2)}{\frac{d}{d x} [1 + x]}$

Schritt 1.3.5.2

Stelle die Faktoren von $- \frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 2)$ um.

$lim_{x \to - 1} \frac{- (2 x + 2) \frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [1 + x]}$

Schritt 1.3.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to - 1} \frac{(- (2 x) - 1 \cdot 2) \frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [1 + x]}$

Schritt 1.3.5.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{(- 2 x - 1 \cdot 2) \frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [1 + x]}$

Schritt 1.3.5.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{(- 2 x - 2) \frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [1 + x]}$

Schritt 1.3.5.6

Mutltipliziere $- 2 x - 2$ mit $\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{- 2 x - 2}{2 {(x^{2} + 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [1 + x]}$

Schritt 1.3.5.7

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2 (- x) - 2}{2 {(x^{2} + 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [1 + x]}$

Schritt 1.3.5.8

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2 (- x) + 2 \cdot - 1}{2 {(x^{2} + 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [1 + x]}$

Schritt 1.3.5.9

Faktorisiere $2$ aus $2 (- x) + 2 (- 1)$ heraus.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2 (- x - 1)}{2 {(x^{2} + 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [1 + x]}$

Schritt 1.3.5.10

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.5.10.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(x^{2} + 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2 (- x - 1)}{2 ({(x^{2} + 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}}{\frac{d}{d x} [1 + x]}$

Schritt 1.3.5.10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2 (- x - 1)}{2 {(x^{2} + 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [1 + x]}$

Schritt 1.3.5.10.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{- x - 1}{{(x^{2} + 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [1 + x]}$

Schritt 1.3.5.11

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{- (x) - 1}{{(x^{2} + 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [1 + x]}$

Schritt 1.3.5.12

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{- (x) - 1 (1)}{{(x^{2} + 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [1 + x]}$

Schritt 1.3.5.13

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (1)$ heraus.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{- (x + 1)}{{(x^{2} + 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [1 + x]}$

Schritt 1.3.5.14

Schreibe $- (x + 1)$ als $- 1 (x + 1)$ um.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{- 1 (x + 1)}{{(x^{2} + 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [1 + x]}$

Schritt 1.3.5.15

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to - 1} \frac{- \frac{x + 1}{{(x^{2} + 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [1 + x]}$

Schritt 1.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- \frac{x + 1}{{(x^{2} + 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.7

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- \frac{x + 1}{{(x^{2} + 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{0 + \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- \frac{x + 1}{{(x^{2} + 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{0 + 1}$

Schritt 1.3.9

Addiere $0$ und $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- \frac{x + 1}{{(x^{2} + 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Schritt 1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to - 1} - \frac{x + 1}{{(x^{2} + 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Schritt 1.5

Schreibe ${(x^{2} + 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{x^{2} + 2 x + 2}$ um.

$lim_{x \to - 1} - \frac{x + 1}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 2}} \cdot 1$

Schritt 1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$lim_{x \to - 1} - \frac{x + 1}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 2}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- lim_{x \to - 1} \frac{x + 1}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 2}}$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 1$ annähert.

$- \frac{lim_{x \to - 1} x + 1}{lim_{x \to - 1} \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 1$ annähert.

$- \frac{lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}}$

Schritt 2.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 1$ annähert.

$- \frac{lim_{x \to - 1} x + 1}{lim_{x \to - 1} \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}}$

Schritt 2.5

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$- \frac{lim_{x \to - 1} x + 1}{\sqrt{lim_{x \to - 1} x^{2} + 2 x + 2}}$

Schritt 2.6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 1$ annähert.

$- \frac{lim_{x \to - 1} x + 1}{\sqrt{lim_{x \to - 1} x^{2} + lim_{x \to - 1} 2 x + lim_{x \to - 1} 2}}$

Schritt 2.7

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$- \frac{lim_{x \to - 1} x + 1}{\sqrt{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + lim_{x \to - 1} 2 x + lim_{x \to - 1} 2}}$

Schritt 2.8

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- \frac{lim_{x \to - 1} x + 1}{\sqrt{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 2}}$

Schritt 2.9

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 1$ annähert.

$- \frac{lim_{x \to - 1} x + 1}{\sqrt{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 1} x + 2}}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 1$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

$- \frac{- 1 + 1}{\sqrt{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 1} x + 2}}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

$- \frac{- 1 + 1}{\sqrt{{(- 1)}^{2} + 2 lim_{x \to - 1} x + 2}}$

Schritt 3.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

$- \frac{- 1 + 1}{\sqrt{{(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1 + 2}}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$- \frac{0}{\sqrt{{(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1 + 2}}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{0}{\sqrt{1 + 2 \cdot - 1 + 2}}$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- \frac{0}{\sqrt{1 - 2 + 2}}$

Schritt 4.2.3

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$- \frac{0}{\sqrt{- 1 + 2}}$

Schritt 4.2.4

Addiere $- 1$ und $2$ .

$- \frac{0}{\sqrt{1}}$

Schritt 4.2.5

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$- \frac{0}{1}$

Schritt 4.3

Dividiere $0$ durch $1$ .

$- 0$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$0$