Analysis Beispiele

$\frac{5}{x} + \sqrt{x^{3}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{5}{x} + \sqrt{x^{3}}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{5}{x} + \sqrt{x^{3}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{5}{x} + \sqrt{x^{3}} d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{5}{x} d x + \int \sqrt{x^{3}} d x$

Schritt 5

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$5 \int \frac{1}{x} d x + \int \sqrt{x^{3}} d x$

Schritt 6

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$5 (\ln (| x |) + C) + \int \sqrt{x^{3}} d x$

Schritt 7

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{3}}$ als $x^{\frac{3}{2}}$ neu zu schreiben.

$5 (\ln (| x |) + C) + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{3}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$5 (\ln (| x |) + C) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 9

Vereinfache.

$5 \ln (| x |) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 10

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{5}{x} + \sqrt{x^{3}}$ .

$F (x) =$ $5 \ln (| x |) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$