Analysis Beispiele

$\frac{\sqrt{1 + 2 x} - 1}{x}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 + 2 x}$ als ${(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1}{x}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1$ und $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1] - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von ${(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 1 + 2 x$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 + 2 x$ .

$\frac{x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u$ durch $1 + 2 x$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 5

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 6

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x (\frac{1}{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 8.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 9

Kombiniere Brüche.

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Schritt 9.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{x (\frac{1}{2} {(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 9.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x (\frac{{(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 9.3

Bringe ${(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x (\frac{1}{2 {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 10

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{x (\frac{1}{2 {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 11

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x (\frac{1}{2 {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 12

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{x (\frac{1}{2 {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 13

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x (\frac{1}{2 {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 14

Vereinfache Terme.

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Schritt 14.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2 {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x (\frac{2}{2 {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (\frac{2}{2 {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 14.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x (\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 15

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x (\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 16

Mutltipliziere $\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $1$ .

$\frac{x (\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 17

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x (\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} + 0) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 18

Kombiniere Brüche.

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Schritt 18.1

Addiere $\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ und $0$ .

$\frac{x \frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 18.2

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{x}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 19

Mutltipliziere $\frac{\frac{x}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$ mit $\frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{x}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 20

Vereinfache Terme.

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Schritt 20.1

Kombinieren.

$\frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (\frac{x}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Schritt 20.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (- ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Schritt 20.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 20.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (- ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Schritt 20.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (- ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Schritt 21

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (- ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \cdot 1)}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Schritt 22

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (- ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1))}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Schritt 23

Vereinfache.

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Schritt 23.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (- {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - - 1)}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Schritt 23.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 23.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{x + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (- {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} + 1)}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Schritt 23.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (- {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}) + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Schritt 23.2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{x - {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Schritt 23.2.4

Mutltipliziere ${(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$\frac{x - {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Schritt 23.2.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 23.2.5.1

Multipliziere ${(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 23.2.5.1.1

Bewege ${(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}) + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Schritt 23.2.5.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x - {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Schritt 23.2.5.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x - {(1 + 2 x)}^{\frac{1 + 1}{2}} + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Schritt 23.2.5.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{x - {(1 + 2 x)}^{\frac{2}{2}} + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Schritt 23.2.5.1.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{x - {(1 + 2 x)}^{1} + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Schritt 23.2.5.2

Vereinfache $- {(1 + 2 x)}^{1}$ .

$\frac{x - (1 + 2 x) + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Schritt 23.2.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x - 1 \cdot 1 - (2 x) + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Schritt 23.2.5.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x - 1 - (2 x) + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Schritt 23.2.5.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{x - 1 - 2 x + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Schritt 23.2.6

Subtrahiere $2 x$ von $x$ .

$\frac{- x - 1 + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Schritt 23.3

Stelle die Terme um.

$\frac{- x - 1 + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{- (x) - 1 + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23.5

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{- (x) - 1 (1) + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (1)$ heraus.

$\frac{- (x + 1) + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23.7

Faktorisiere $- 1$ aus ${(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{- (x + 1) - 1 (- {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}})}{x^{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x + 1) - 1 (- {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}})$ heraus.

$\frac{- (x + 1 - {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}})}{x^{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23.9

Schreibe $- (x + 1 - {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}})$ als $- 1 (x + 1 - {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}})$ um.

$\frac{- 1 (x + 1 - {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}})}{x^{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x + 1 - {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$