Analysis Beispiele

$x \log (x)$

Schritt 1

Schreibe $x \log (x)$ als Funktion.

$f (x) = x \log (x)$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int x \log (x) d x$

Schritt 4

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \log (x)$ und $d v = x$ .

$\log (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x \ln (10)} d x$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\log (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x \ln (10)} d x$

Schritt 5.2

Kombiniere $\log (x)$ und $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{\log (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x \ln (10)} d x$

Schritt 6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{\log (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{1}{x \ln (10)} d x)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{x \ln (10)}$ .

$\frac{\log (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x \ln (10)} d x)$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 7.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{\log (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x \ln (10)} d x)$

Schritt 7.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (10)$ heraus.

$\frac{\log (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x (\ln (10))} d x)$

Schritt 7.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\log (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x \ln (10)} d x)$

Schritt 7.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\log (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x}{\ln (10)} d x)$

$\frac{\log (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{x}{\ln (10)} d x$

Schritt 8

Da $\frac{1}{\ln (10)}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{\ln (10)}$ aus dem Integral.

$\frac{\log (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{\ln (10)} \int x d x)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\ln (10)}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\log (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{\ln (10) \cdot 2} \int x d x$

Schritt 9.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\ln (10)$ .

$\frac{\log (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2 \ln (10)} \int x d x$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{\log (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2 \ln (10)} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 11

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 11.1

Schreibe $\frac{\log (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2 \ln (10)} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ als $\frac{1}{2} \log (x) x^{2} - \frac{1}{2 \ln (10)} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$ um.

$\frac{1}{2} \log (x) x^{2} - \frac{1}{2 \ln (10)} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 11.2

Vereinfache.

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Schritt 11.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\log (x)$ .

$\frac{\log (x)}{2} x^{2} - \frac{1}{2 \ln (10)} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 11.2.2

Kombiniere $\frac{\log (x)}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{\log (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2 \ln (10)} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 11.2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2 \ln (10)}$ .

$\frac{\log (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2 (2 \ln (10))} x^{2} + C$

Schritt 11.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\log (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4 \ln (10)} x^{2} + C$

Schritt 11.3

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{4 \ln (10)}$ .

$\frac{\log (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4 \ln (10)} + C$

Schritt 11.4

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} \log (x) x^{2} - \frac{1}{4 \ln (10)} x^{2} + C$

Schritt 12

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = x \log (x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} \log (x) x^{2} - \frac{1}{4 \ln (10)} x^{2} + C$