Analysis Beispiele

$7 \sum_{t = 4}^{9} t^{2} - 7 t$

Schritt 1

Zerlege die Addition, damit der Anfangswert von $t$ gleich $1$ ist.

$7 \sum_{t = 4}^{9} t^{2} - 7 t = 7 (\sum_{t = 1}^{9} t^{2} - 7 t - \sum_{t = 1}^{3} t^{2} - 7 t)$

Schritt 2

Berechne $\sum_{t = 1}^{9} t^{2} - 7 t$ .

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Schritt 2.1

Teile die Addition in kleinere Additionen, die mit den Additionsregelen übereinstimmen.

$\sum_{t = 1}^{9} t^{2} - 7 t = \sum_{t = 1}^{9} t^{2} - 7 \sum_{t = 1}^{9} t$

Schritt 2.2

Berechne $\sum_{t = 1}^{9} t^{2}$ .

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Schritt 2.2.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $2$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Schritt 2.2.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$\frac{9 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1)}{6}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $9$ und $6$ .

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Schritt 2.2.3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $9 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1)$ heraus.

$\frac{3 (3 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1))}{6}$

Schritt 2.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.3.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{3 (3 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1))}{3 (2)}$

Schritt 2.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (3 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1))}{3 \cdot 2}$

Schritt 2.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1)}{2}$

Schritt 2.2.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$\frac{3 (9 + 1) (18 + 1)}{2}$

Schritt 2.2.3.2.2

Addiere $9$ und $1$ .

$\frac{3 \cdot 10 (18 + 1)}{2}$

Schritt 2.2.3.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $10$ .

$\frac{30 (18 + 1)}{2}$

Schritt 2.2.3.2.4

Addiere $18$ und $1$ .

$\frac{30 \cdot 19}{2}$

Schritt 2.2.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.3.3.1

Mutltipliziere $30$ mit $19$ .

$\frac{570}{2}$

Schritt 2.2.3.3.2

Dividiere $570$ durch $2$ .

$285$

Schritt 2.3

Berechne $7 \sum_{t = 1}^{9} t$ .

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Schritt 2.3.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $1$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Schritt 2.3.2

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(- 7) (\frac{9 (9 + 1)}{2})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.1

Addiere $9$ und $1$ .

$- 7 \frac{9 \cdot 10}{2}$

Schritt 2.3.3.2

Mutltipliziere $9$ mit $10$ .

$- 7 (\frac{90}{2})$

Schritt 2.3.3.3

Dividiere $90$ durch $2$ .

$- 7 \cdot 45$

Schritt 2.3.3.4

Mutltipliziere $- 7$ mit $45$ .

$- 315$

Schritt 2.4

Addiere die Ergebnisse der Aufsummierungen.

$285 - 315$

Schritt 2.5

Subtrahiere $315$ von $285$ .

$- 30$

Schritt 3

Berechne $\sum_{t = 1}^{3} t^{2} - 7 t$ .

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Schritt 3.1

Entwickele die Reihe für jeden Wert von $t$ .

$1^{2} - 7 \cdot 1 + 2^{2} - 7 \cdot 2 + 3^{2} - 7 \cdot 3$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Potenziere $1$ mit $2$ .

$1 - 7 \cdot 1 + 2^{2} - 7 \cdot 2 + 3^{2} - 7 \cdot 3$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $- 7$ mit $1$ .

$1 - 7 + 2^{2} - 7 \cdot 2 + 3^{2} - 7 \cdot 3$

Schritt 3.2.3

Subtrahiere $7$ von $1$ .

$- 6 + 2^{2} - 7 \cdot 2 + 3^{2} - 7 \cdot 3$

Schritt 3.2.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- 6 + 4 - 7 \cdot 2 + 3^{2} - 7 \cdot 3$

Schritt 3.2.5

Mutltipliziere $- 7$ mit $2$ .

$- 6 + 4 - 14 + 3^{2} - 7 \cdot 3$

Schritt 3.2.6

Subtrahiere $14$ von $4$ .

$- 6 - 10 + 3^{2} - 7 \cdot 3$

Schritt 3.2.7

Subtrahiere $10$ von $- 6$ .

$- 16 + 3^{2} - 7 \cdot 3$

Schritt 3.2.8

Potenziere $3$ mit $2$ .

$- 16 + 9 - 7 \cdot 3$

Schritt 3.2.9

Mutltipliziere $- 7$ mit $3$ .

$- 16 + 9 - 21$

Schritt 3.2.10

Subtrahiere $21$ von $9$ .

$- 16 - 12$

Schritt 3.2.11

Subtrahiere $12$ von $- 16$ .

$- 28$

Schritt 4

Ersetze die Aufsummierungen durch die gefundenen Werte.

$7 (- 30 + 28)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Addiere $- 30$ und $28$ .

$7 \cdot - 2$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $7$ mit $- 2$ .

$- 14$