Analysis Beispiele

$\sin (x^{3} y) = x^{3}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (\sin (x^{3} y)) = \frac{d}{d x} (x^{3})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = x^{3} y$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{3} y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x^{3} y]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x^{3} y]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{3} y$ .

$\cos (x^{3} y) \frac{d}{d x} [x^{3} y]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

$\cos (x^{3} y) (x^{3} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\cos (x^{3} y) (x^{3} y' + y \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\cos (x^{3} y) (x^{3} y' + y (3 x^{2}))$

Schritt 2.5

Bringe $3$ auf die linke Seite von $y$ .

$\cos (x^{3} y) (x^{3} y' + 3 \cdot y x^{2})$

Schritt 2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (x^{3} y) (x^{3} y') + \cos (x^{3} y) (3 y x^{2})$

Schritt 2.6.2

Stelle die Terme um.

$x^{3} \cos (x^{3} y) y' + 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$x^{3} \cos (x^{3} y) y' + 3 x^{2} y \cos (x^{3} y) = 3 x^{2}$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Stelle die Faktoren in $x^{3} \cos (x^{3} y) y' + 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)$ um.

$x^{3} y' \cos (x^{3} y) + 3 x^{2} y \cos (x^{3} y) = 3 x^{2}$

Schritt 5.2

Subtrahiere $3 x^{2} y \cos (x^{3} y)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} y' \cos (x^{3} y) = 3 x^{2} - 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $x^{3} y' \cos (x^{3} y) = 3 x^{2} - 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)$ durch $x^{3} \cos (x^{3} y)$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $x^{3} y' \cos (x^{3} y) = 3 x^{2} - 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)$ durch $x^{3} \cos (x^{3} y)$ .

$\frac{x^{3} y' \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)} = \frac{3 x^{2}}{x^{3} \cos (x^{3} y)} + \frac{- 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{3} y' \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)} = \frac{3 x^{2}}{x^{3} \cos (x^{3} y)} + \frac{- 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)}$

Schritt 5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' \cos (x^{3} y)}{\cos (x^{3} y)} = \frac{3 x^{2}}{x^{3} \cos (x^{3} y)} + \frac{- 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x^{3} y)$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' \cos (x^{3} y)}{\cos (x^{3} y)} = \frac{3 x^{2}}{x^{3} \cos (x^{3} y)} + \frac{- 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)}$

Schritt 5.3.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{x^{3} \cos (x^{3} y)} + \frac{- 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x^{3}$ .

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Schritt 5.3.3.1.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$y' = \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{3} \cos (x^{3} y)} + \frac{- 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)}$

Schritt 5.3.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.1.1.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3} \cos (x^{3} y)$ heraus.

$y' = \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} (x \cos (x^{3} y))} + \frac{- 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)}$

Schritt 5.3.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} (x \cos (x^{3} y))} + \frac{- 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)}$

Schritt 5.3.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{3}{x \cos (x^{3} y)} + \frac{- 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)}$

Schritt 5.3.3.1.2

Separiere Brüche.

$y' = \frac{3}{x} \cdot \frac{1}{\cos (x^{3} y)} + \frac{- 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)}$

Schritt 5.3.3.1.3

Wandle von $\frac{1}{\cos (x^{3} y)}$ nach $\sec (x^{3} y)$ um.

$y' = \frac{3}{x} \sec (x^{3} y) + \frac{- 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)}$

Schritt 5.3.3.1.4

Kombiniere $\frac{3}{x}$ und $\sec (x^{3} y)$ .

$y' = \frac{3 \sec (x^{3} y)}{x} + \frac{- 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)}$

Schritt 5.3.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x^{3}$ .

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Schritt 5.3.3.1.5.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)$ heraus.

$y' = \frac{3 \sec (x^{3} y)}{x} + \frac{x^{2} (- 3 y \cos (x^{3} y))}{x^{3} \cos (x^{3} y)}$

Schritt 5.3.3.1.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.1.5.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3} \cos (x^{3} y)$ heraus.

$y' = \frac{3 \sec (x^{3} y)}{x} + \frac{x^{2} (- 3 y \cos (x^{3} y))}{x^{2} (x \cos (x^{3} y))}$

Schritt 5.3.3.1.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{3 \sec (x^{3} y)}{x} + \frac{x^{2} (- 3 y \cos (x^{3} y))}{x^{2} (x \cos (x^{3} y))}$

Schritt 5.3.3.1.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{3 \sec (x^{3} y)}{x} + \frac{- 3 y \cos (x^{3} y)}{x \cos (x^{3} y)}$

Schritt 5.3.3.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x^{3} y)$ .

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Schritt 5.3.3.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{3 \sec (x^{3} y)}{x} + \frac{- 3 y \cos (x^{3} y)}{x \cos (x^{3} y)}$

Schritt 5.3.3.1.6.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{3 \sec (x^{3} y)}{x} + \frac{- 3 y}{x}$

Schritt 5.3.3.1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{3 \sec (x^{3} y)}{x} - \frac{3 y}{x}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 \sec (x^{3} y)}{x} - \frac{3 y}{x}$