Analysis Beispiele

$lim_{x \to - \frac{π}{2}} \cos (5 x - \cos (5 x))$

Schritt 1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\cos (lim_{x \to - \frac{π}{2}} 5 x - \cos (5 x))$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \frac{π}{2}$ annähert.

$\cos (lim_{x \to - \frac{π}{2}} 5 x - lim_{x \to - \frac{π}{2}} \cos (5 x))$

Schritt 3

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\cos (5 lim_{x \to - \frac{π}{2}} x - lim_{x \to - \frac{π}{2}} \cos (5 x))$

Schritt 4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\cos (5 lim_{x \to - \frac{π}{2}} x - \cos (lim_{x \to - \frac{π}{2}} 5 x))$

Schritt 5

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\cos (5 lim_{x \to - \frac{π}{2}} x - \cos (5 lim_{x \to - \frac{π}{2}} x))$

Schritt 6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- \frac{π}{2}$ für alle $x$ .

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- \frac{π}{2}$ für $x$ .

$\cos (5 (- \frac{π}{2}) - \cos (5 lim_{x \to - \frac{π}{2}} x))$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- \frac{π}{2}$ für $x$ .

$\cos (5 (- \frac{π}{2}) - \cos (5 (- \frac{π}{2})))$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1.1

Multipliziere $5 (- \frac{π}{2})$ .

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Schritt 7.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\cos (- 5 \frac{π}{2} - \cos (5 (- \frac{π}{2})))$

Schritt 7.1.1.2

Kombiniere $- 5$ und $\frac{π}{2}$ .

$\cos (\frac{- 5 π}{2} - \cos (5 (- \frac{π}{2})))$

Schritt 7.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cos (- \frac{5 π}{2} - \cos (5 (- \frac{π}{2})))$

Schritt 7.1.3

Multipliziere $5 (- \frac{π}{2})$ .

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Schritt 7.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\cos (- \frac{5 π}{2} - \cos (- 5 \frac{π}{2}))$

Schritt 7.1.3.2

Kombiniere $- 5$ und $\frac{π}{2}$ .

$\cos (- \frac{5 π}{2} - \cos (\frac{- 5 π}{2}))$

Schritt 7.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cos (- \frac{5 π}{2} - \cos (- \frac{5 π}{2}))$

Schritt 7.1.5

Addiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$\cos (- \frac{5 π}{2} - \cos (\frac{3 π}{2}))$

Schritt 7.1.6

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$\cos (- \frac{5 π}{2} - \cos (\frac{π}{2}))$

Schritt 7.1.7

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$\cos (- \frac{5 π}{2} - 0)$

Schritt 7.1.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\cos (- \frac{5 π}{2} + 0)$

Schritt 7.2

Addiere $- \frac{5 π}{2}$ und $0$ .

$\cos (- \frac{5 π}{2})$

Schritt 7.3

Addiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$\cos (\frac{3 π}{2})$

Schritt 7.4

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$\cos (\frac{π}{2})$

Schritt 7.5

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$0$