Analysis Beispiele

$\int x \sin (\frac{x}{2}) d x$

Schritt 1

Sei $u = \frac{x}{2}$ . Dann ist $d u = \frac{1}{2} d x$ , folglich $2 d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = \frac{x}{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Schritt 1.1.2

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int 2 u \sin (u) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{2}$ zu dividieren.

$\int 2 u \sin (u) (1 \cdot 2) d u$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\int 2 u \sin (u) \cdot 2 d u$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\int 4 u \sin (u) d u$

Schritt 3

Da $4$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int u \sin (u) d u$

Schritt 4

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int w d v = w v - \int v d w$ , mit $w = u$ und $dv = \sin (u)$ .

$4 (u (- \cos (u)) - \int - \cos (u) d u)$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$4 (u (- \cos (u)) - - \int \cos (u) d u)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$4 (u (- \cos (u)) + 1 \int \cos (u) d u)$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $\int \cos (u) d u$ mit $1$ .

$4 (u (- \cos (u)) + \int \cos (u) d u)$

Schritt 7

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$4 (u (- \cos (u)) + \sin (u) + C)$

Schritt 8

Schreibe $4 (u (- \cos (u)) + \sin (u) + C)$ als $4 (- u \cos (u) + \sin (u)) + C$ um.

$4 (- u \cos (u) + \sin (u)) + C$

Schritt 9

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{2}$ .

$4 (- \frac{x}{2} \cos (\frac{x}{2}) + \sin (\frac{x}{2})) + C$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Kombiniere $\cos (\frac{x}{2})$ und $\frac{x}{2}$ .

$4 (- \frac{\cos (\frac{x}{2}) x}{2} + \sin (\frac{x}{2})) + C$

Schritt 10.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (- \frac{\cos (\frac{x}{2}) x}{2}) + 4 \sin (\frac{x}{2}) + C$

Schritt 10.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\cos (\frac{x}{2}) x}{2}$ in den Zähler.

$4 \frac{- \cos (\frac{x}{2}) x}{2} + 4 \sin (\frac{x}{2}) + C$

Schritt 10.3.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$2 (2) \frac{- \cos (\frac{x}{2}) x}{2} + 4 \sin (\frac{x}{2}) + C$

Schritt 10.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot 2 \frac{- \cos (\frac{x}{2}) x}{2} + 4 \sin (\frac{x}{2}) + C$

Schritt 10.3.4

Forme den Ausdruck um.

$2 (- \cos (\frac{x}{2}) x) + 4 \sin (\frac{x}{2}) + C$

Schritt 10.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 (\cos (\frac{x}{2}) x) + 4 \sin (\frac{x}{2}) + C$

Schritt 10.5

Stelle die Faktoren in $- 2 \cos (\frac{x}{2}) x + 4 \sin (\frac{x}{2})$ um.

$- 2 x \cos (\frac{x}{2}) + 4 \sin (\frac{x}{2}) + C$

Schritt 11

Stelle die Terme um.

$- 2 x \cos (\frac{1}{2} x) + 4 \sin (\frac{1}{2} x) + C$