Analysis Beispiele

$\frac{1 + \tan (x)}{1 + \cot (x)}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 1 + \tan (x)$ und $g (x) = 1 + \cot (x)$ .

$\frac{(1 + \cot (x)) \frac{d}{d x} [1 + \tan (x)] - (1 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [1 + \cot (x)]}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \tan (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$\frac{(1 + \cot (x)) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]) - (1 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [1 + \cot (x)]}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Schritt 2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(1 + \cot (x)) (0 + \frac{d}{d x} [\tan (x)]) - (1 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [1 + \cot (x)]}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Schritt 2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$\frac{(1 + \cot (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)] - (1 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [1 + \cot (x)]}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Schritt 3

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{(1 + \cot (x)) \sec^{2} (x) - (1 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [1 + \cot (x)]}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \cot (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ .

$\frac{(1 + \cot (x)) \sec^{2} (x) - (1 + \tan (x)) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cot (x)])}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Schritt 4.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(1 + \cot (x)) \sec^{2} (x) - (1 + \tan (x)) (0 + \frac{d}{d x} [\cot (x)])}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Schritt 4.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [\cot (x)]$ .

$\frac{(1 + \cot (x)) \sec^{2} (x) - (1 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [\cot (x)]}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Schritt 5

Die Ableitung von $\cot (x)$ nach $x$ ist $- \csc^{2} (x)$ .

$\frac{(1 + \cot (x)) \sec^{2} (x) - (1 + \tan (x)) (- \csc^{2} (x))}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Schritt 6

Multipliziere.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{(1 + \cot (x)) \sec^{2} (x) + 1 (1 + \tan (x)) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $1 + \tan (x)$ mit $1$ .

$\frac{(1 + \cot (x)) \sec^{2} (x) + (1 + \tan (x)) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 \sec^{2} (x) + \cot (x) \sec^{2} (x) + (1 + \tan (x)) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Schritt 7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 \sec^{2} (x) + \cot (x) \sec^{2} (x) + 1 \csc^{2} (x) + \tan (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Schritt 7.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.1.1

Mutltipliziere $\sec^{2} (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sec^{2} (x) + \cot (x) \sec^{2} (x) + 1 \csc^{2} (x) + \tan (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Schritt 7.3.1.2

Schreibe $\cot (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\sec^{2} (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sec^{2} (x) + 1 \csc^{2} (x) + \tan (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Schritt 7.3.1.3

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\sec^{2} (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + 1 \csc^{2} (x) + \tan (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Schritt 7.3.1.4

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x)}$ an.

$\frac{\sec^{2} (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + 1 \csc^{2} (x) + \tan (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Schritt 7.3.1.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{\sec^{2} (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)} + 1 \csc^{2} (x) + \tan (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Schritt 7.3.1.6

Mutltipliziere $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ mit $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\sec^{2} (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x) \cos^{2} (x)} + 1 \csc^{2} (x) + \tan (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Schritt 7.3.1.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\cos (x)$ und $\cos^{2} (x)$ .

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Schritt 7.3.1.7.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{\sec^{2} (x) + \frac{\cos (x) \cdot 1}{\sin (x) \cos^{2} (x)} + 1 \csc^{2} (x) + \tan (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Schritt 7.3.1.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.3.1.7.2.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\sin (x) \cos^{2} (x)$ heraus.

$\frac{\sec^{2} (x) + \frac{\cos (x) \cdot 1}{\cos (x) (\sin (x) \cos (x))} + 1 \csc^{2} (x) + \tan (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Schritt 7.3.1.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sec^{2} (x) + \frac{\cos (x) \cdot 1}{\cos (x) (\sin (x) \cos (x))} + 1 \csc^{2} (x) + \tan (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Schritt 7.3.1.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sec^{2} (x) + \frac{1}{\sin (x) \cos (x)} + 1 \csc^{2} (x) + \tan (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Schritt 7.3.1.8

Separiere Brüche.

$\frac{\sec^{2} (x) + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + 1 \csc^{2} (x) + \tan (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Schritt 7.3.1.9

Wandle von $\frac{1}{\sin (x)}$ nach $\csc (x)$ um.

$\frac{\sec^{2} (x) + \frac{1}{\cos (x)} \csc (x) + 1 \csc^{2} (x) + \tan (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Schritt 7.3.1.10

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) \csc (x) + 1 \csc^{2} (x) + \tan (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Schritt 7.3.1.11

Mutltipliziere $\csc^{2} (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) + \tan (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Schritt 7.3.1.12

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Schritt 7.3.1.13

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Schritt 7.3.1.14

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\sin (x)}$ an.

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Schritt 7.3.1.15

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin^{2} (x)}}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Schritt 7.3.1.16

Mutltipliziere $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ mit $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x) \sin^{2} (x)}}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Schritt 7.3.1.17

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\sin (x)$ und $\sin^{2} (x)$ .

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Schritt 7.3.1.17.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) + \frac{\sin (x) \cdot 1}{\cos (x) \sin^{2} (x)}}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Schritt 7.3.1.17.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.3.1.17.2.1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\cos (x) \sin^{2} (x)$ heraus.

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) + \frac{\sin (x) \cdot 1}{\sin (x) (\cos (x) \sin (x))}}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Schritt 7.3.1.17.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) + \frac{\sin (x) \cdot 1}{\sin (x) (\cos (x) \sin (x))}}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Schritt 7.3.1.17.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Schritt 7.3.1.18

Separiere Brüche.

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) + \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Schritt 7.3.1.19

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) + \frac{1}{\sin (x)} \sec (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Schritt 7.3.1.20

Wandle von $\frac{1}{\sin (x)}$ nach $\csc (x)$ um.

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) + \csc (x) \sec (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Schritt 7.3.2

Stelle die Faktoren von $\sec (x) \csc (x)$ um.

$\frac{\sec^{2} (x) + \csc (x) \sec (x) + \csc^{2} (x) + \csc (x) \sec (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Schritt 7.3.3

Addiere $\csc (x) \sec (x)$ und $\csc (x) \sec (x)$ .

$\frac{\sec^{2} (x) + 2 \csc (x) \sec (x) + \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Schritt 7.4

Stelle die Terme um.

$\frac{2 \csc (x) \sec (x) + \sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Schritt 7.5

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 7.5.1

Ordne Terme um.

$\frac{\sec^{2} (x) + 2 \csc (x) \sec (x) + \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Schritt 7.5.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 \csc (x) \sec (x) = 2 \cdot \sec (x) \cdot \csc (x)$

Schritt 7.5.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{\sec^{2} (x) + 2 \cdot \sec (x) \cdot \csc (x) + \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Schritt 7.5.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = \sec (x)$ und $b = \csc (x)$ .

$\frac{{(\sec (x) + \csc (x))}^{2}}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$