Analysis Beispiele

$\int {(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = {(2 x + 3)}^{2}$ und $d v = e^{x + 1}$ .

${(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} - \int e^{x + 1} (8 x + 12) d x$

Schritt 2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = 8 x + 12$ und $d v = e^{x + 1}$ .

${(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - \int e^{x + 1} \cdot 8 d x)$

Schritt 3

Bringe $8$ auf die linke Seite von $e^{x + 1}$ .

${(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - \int 8 e^{x + 1} d x)$

Schritt 4

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $8$ aus dem Integral.

${(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - (8 \int e^{x + 1} d x))$

Schritt 5

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

${(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - 8 \int e^{x + 1} d x)$

Schritt 6

Sei $u = x + 1$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.1

Es sei $u = x + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 6.1.1

Differenziere $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 6.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 6.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 6.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 6.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

${(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - 8 \int e^{u} d u)$

Schritt 7

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

${(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - 8 (e^{u} + C))$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Schreibe ${(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - 8 (e^{u} + C))$ als $(2 x + 3) (2 x + 3) e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - 8 e^{u}) + C$ um.

$(2 x + 3) (2 x + 3) e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - 8 e^{u}) + C$

Schritt 8.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Potenziere $2 x + 3$ mit $1$ .

${(2 x + 3)}^{1} (2 x + 3) e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - 8 e^{u}) + C$

Schritt 8.2.2

Potenziere $2 x + 3$ mit $1$ .

${(2 x + 3)}^{1} {(2 x + 3)}^{1} e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - 8 e^{u}) + C$

Schritt 8.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(2 x + 3)}^{1 + 1} e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - 8 e^{u}) + C$

Schritt 8.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

${(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - 8 e^{u}) + C$

Schritt 9

Ersetze alle $u$ durch $x + 1$ .

${(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - 8 e^{x + 1}) + C$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Wende das Distributivgesetz an.

${(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1}) - (- 8 e^{x + 1}) + C$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 1$ .

${(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} - (8 x + 12) e^{x + 1} + 8 e^{x + 1} + C$

Schritt 10.3

Stelle die Faktoren in $- (8 x + 12) e^{x + 1} + 8 e^{x + 1}$ um.

${(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} - e^{x + 1} (8 x + 12) + 8 e^{x + 1} + C$