Analysis Beispiele

$- 6 \sin (3 x) d x$

Schritt 1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 6$ aus dem Integral.

$- 6 \int \sin (3 x) d x$

Schritt 2

Sei $u = 3 x$ . Dann ist $d u = 3 d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = 3 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 2.1.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$- 6 \int \sin (u) \frac{1}{3} d u$

Schritt 3

Kombiniere $\sin (u)$ und $\frac{1}{3}$ .

$- 6 \int \frac{\sin (u)}{3} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$- 6 (\frac{1}{3} \int \sin (u) d u)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 6$ .

$\frac{- 6}{3} \int \sin (u) d u$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $3$ .

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $3$ aus $- 6$ heraus.

$\frac{3 \cdot - 2}{3} \int \sin (u) d u$

Schritt 5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 \cdot - 2}{3 (1)} \int \sin (u) d u$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 1} \int \sin (u) d u$

Schritt 5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2}{1} \int \sin (u) d u$

Schritt 5.2.2.4

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$- 2 \int \sin (u) d u$

Schritt 6

Das Integral von $\sin (u)$ nach $u$ ist $- \cos (u)$ .

$- 2 (- \cos (u) + C)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinfache.

$- 2 (- \cos (u)) + C$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$2 \cos (u) + C$

Schritt 8

Ersetze alle $u$ durch $3 x$ .

$2 \cos (3 x) + C$