Analysis Beispiele

$lim_{x \to \frac{3}{2}} \frac{- x - 3}{x^{2} + x + 1}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{3}{2}$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \frac{3}{2}} - x - 3}{lim_{x \to \frac{3}{2}} x^{2} + x + 1}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{3}{2}$ annähert.

$\frac{- lim_{x \to \frac{3}{2}} x - lim_{x \to \frac{3}{2}} 3}{lim_{x \to \frac{3}{2}} x^{2} + x + 1}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{3}{2}$ annähert.

$\frac{- lim_{x \to \frac{3}{2}} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to \frac{3}{2}} x^{2} + x + 1}$

Schritt 4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{3}{2}$ annähert.

$\frac{- lim_{x \to \frac{3}{2}} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to \frac{3}{2}} x^{2} + lim_{x \to \frac{3}{2}} x + lim_{x \to \frac{3}{2}} 1}$

Schritt 5

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{- lim_{x \to \frac{3}{2}} x - 1 \cdot 3}{{(lim_{x \to \frac{3}{2}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{3}{2}} x + lim_{x \to \frac{3}{2}} 1}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{3}{2}$ annähert.

$\frac{- lim_{x \to \frac{3}{2}} x - 1 \cdot 3}{{(lim_{x \to \frac{3}{2}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{3}{2}} x + 1}$

Schritt 7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $\frac{3}{2}$ für alle $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{3}{2}$ für $x$ .

$\frac{- \frac{3}{2} - 1 \cdot 3}{{(lim_{x \to \frac{3}{2}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{3}{2}} x + 1}$

Schritt 7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{3}{2}$ für $x$ .

$\frac{- \frac{3}{2} - 1 \cdot 3}{{(\frac{3}{2})}^{2} + lim_{x \to \frac{3}{2}} x + 1}$

Schritt 7.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{3}{2}$ für $x$ .

$\frac{- \frac{3}{2} - 1 \cdot 3}{{(\frac{3}{2})}^{2} + \frac{3}{2} + 1}$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Multipliziere den Zähler und Nenner des Bruches mit $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.1

Mutltipliziere $\frac{- \frac{3}{2} - 1 \cdot 3}{{(\frac{3}{2})}^{2} + \frac{3}{2} + 1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{- \frac{3}{2} - 1 \cdot 3}{{(\frac{3}{2})}^{2} + \frac{3}{2} + 1}$

Schritt 8.1.2

Kombinieren.

$\frac{2 (- \frac{3}{2} - 1 \cdot 3)}{2 ({(\frac{3}{2})}^{2} + \frac{3}{2} + 1)}$

Schritt 8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (- \frac{3}{2}) + 2 (- 1 \cdot 3)}{2 {(\frac{3}{2})}^{2} + 2 (\frac{3}{2}) + 2 \cdot 1}$

Schritt 8.3

Vereinfache durch Kürzen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{2}$ in den Zähler.

$\frac{2 (\frac{- 3}{2}) + 2 (- 1 \cdot 3)}{2 {(\frac{3}{2})}^{2} + 2 (\frac{3}{2}) + 2 \cdot 1}$

Schritt 8.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (\frac{- 3}{2}) + 2 (- 1 \cdot 3)}{2 {(\frac{3}{2})}^{2} + 2 (\frac{3}{2}) + 2 \cdot 1}$

Schritt 8.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 3 + 2 (- 1 \cdot 3)}{2 {(\frac{3}{2})}^{2} + 2 (\frac{3}{2}) + 2 \cdot 1}$

Schritt 8.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 + 2 (- 1 \cdot 3)}{2 {(\frac{3}{2})}^{2} + 2 (\frac{3}{2}) + 2 \cdot 1}$

Schritt 8.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 3 + 2 (- 1 \cdot 3)}{2 {(\frac{3}{2})}^{2} + 3 + 2 \cdot 1}$

Schritt 8.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.4.1

Multipliziere $2 (- 1 \cdot 3)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.4.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{- 3 + 2 \cdot - 3}{2 {(\frac{3}{2})}^{2} + 3 + 2 \cdot 1}$

Schritt 8.4.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$\frac{- 3 - 6}{2 {(\frac{3}{2})}^{2} + 3 + 2 \cdot 1}$

Schritt 8.4.2

Subtrahiere $6$ von $- 3$ .

$\frac{- 9}{2 {(\frac{3}{2})}^{2} + 3 + 2 \cdot 1}$

Schritt 8.5

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.5.1

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$\frac{- 9}{2 \frac{3^{2}}{2^{2}} + 3 + 2 \cdot 1}$

Schritt 8.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2^{2}$ heraus.

$\frac{- 9}{2 \frac{3^{2}}{2 \cdot 2} + 3 + 2 \cdot 1}$

Schritt 8.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 9}{2 \frac{3^{2}}{2 \cdot 2} + 3 + 2 \cdot 1}$

Schritt 8.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 9}{\frac{3^{2}}{2} + 3 + 2 \cdot 1}$

Schritt 8.5.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{- 9}{\frac{9}{2} + 3 + 2 \cdot 1}$

Schritt 8.5.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{- 9}{\frac{9}{2} + 3 + 2}$

Schritt 8.5.5

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 9}{\frac{9}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2} + 2}$

Schritt 8.5.6

Kombiniere $3$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 9}{\frac{9}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2} + 2}$

Schritt 8.5.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 9}{\frac{9 + 3 \cdot 2}{2} + 2}$

Schritt 8.5.8

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.5.8.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{- 9}{\frac{9 + 6}{2} + 2}$

Schritt 8.5.8.2

Addiere $9$ und $6$ .

$\frac{- 9}{\frac{15}{2} + 2}$

Schritt 8.5.9

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 9}{\frac{15}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}$

Schritt 8.5.10

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 9}{\frac{15}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}$

Schritt 8.5.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 9}{\frac{15 + 2 \cdot 2}{2}}$

Schritt 8.5.12

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.5.12.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{- 9}{\frac{15 + 4}{2}}$

Schritt 8.5.12.2

Addiere $15$ und $4$ .

$\frac{- 9}{\frac{19}{2}}$

Schritt 8.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- 9 (\frac{2}{19})$

Schritt 8.7

Multipliziere $- 9 (\frac{2}{19})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.7.1

Kombiniere $- 9$ und $\frac{2}{19}$ .

$\frac{- 9 \cdot 2}{19}$

Schritt 8.7.2

Mutltipliziere $- 9$ mit $2$ .

$\frac{- 18}{19}$

Schritt 8.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{18}{19}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{18}{19}$

Dezimalform:

$- 0.94736842 \dots$