Analysis Beispiele

$f (x) = {\begin{cases} x^{2} - c & x < 5 \\ 4 x + 2 c & x \geq 5 \end{cases}$

Schritt 1

Finde die Grenze von $x^{2} - c$ , wenn sich $x$ von links $5$ nähert.

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Schritt 1.1

Wandle den zweiseitigen Grenzwert in einen linksseitigen Grenzwert um.

$lim_{x \to 5^{-}} x^{2} - c$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $5$ annähert.

$lim_{x \to 5^{-}} x^{2} - lim_{x \to 5^{-}} c$

Schritt 1.2.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

${(lim_{x \to 5^{-}} x)}^{2} - lim_{x \to 5^{-}} c$

Schritt 1.2.3

Berechne den Grenzwert von $c$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $5$ annähert.

${(lim_{x \to 5^{-}} x)}^{2} - c$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $5$ für $x$ .

$5^{2} - c$

Schritt 1.4

Potenziere $5$ mit $2$ .

$25 - c$

Schritt 2

Berechne $4 x + 2 c$ bei $5$ .

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $5$ .

$4 (5) + 2 c$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$20 + 2 c$

Schritt 3

Da die Grenze von $x^{2} - c$ bei Annäherung von $x$ an $5$ von links nicht gleich dem Funktionswert bei $x = 5$ ist, ist die Funktion bei $x = 5$ nicht kontinuierlich.

Nicht stetig

Schritt 4