Analysis Beispiele

$\int_{1}^{2} \frac{16 {(3 - 2 x)}^{\frac{5}{3}}}{3} d x$

Schritt 1

Da $\frac{16}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{16}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{16}{3} \int_{1}^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{5}{3}} d x$

Schritt 2

Sei $u = 3 - 2 x$ . Dann ist $d u = - 2 d x$ , folglich $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = 3 - 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $3 - 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 - 2 x]$

Schritt 2.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 - 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 2.1.2.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$0 - 2$

Schritt 2.1.4

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$- 2$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 3 - 2 x$ ein.

$u_{lower} = 3 - 2 \cdot 1$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$u_{lower} = 3 - 2$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 2.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 3 - 2 x$ ein.

$u_{upper} = 3 - 2 \cdot 2$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$u_{upper} = 3 - 4$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $4$ von $3$ .

$u_{upper} = - 1$

Schritt 2.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = - 1$

Schritt 2.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\frac{16}{3} \int_{1}^{- 1} u^{\frac{5}{3}} \frac{1}{- 2} d u$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{16}{3} \int_{1}^{- 1} u^{\frac{5}{3}} (- \frac{1}{2}) d u$

Schritt 3.2

Kombiniere $u^{\frac{5}{3}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{16}{3} \int_{1}^{- 1} - \frac{u^{\frac{5}{3}}}{2} d u$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{16}{3} (- \int_{1}^{- 1} \frac{u^{\frac{5}{3}}}{2} d u)$

Schritt 5

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{16}{3} (- (\frac{1}{2} \int_{1}^{- 1} u^{\frac{5}{3}} d u))$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $\frac{16}{3}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{16}{3 \cdot 2} \int_{1}^{- 1} u^{\frac{5}{3}} d u$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{16}{6} \int_{1}^{- 1} u^{\frac{5}{3}} d u$

Schritt 6.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $6$ .

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Schritt 6.3.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$- \frac{2 (8)}{6} \int_{1}^{- 1} u^{\frac{5}{3}} d u$

Schritt 6.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$- \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 3} \int_{1}^{- 1} u^{\frac{5}{3}} d u$

Schritt 6.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 3} \int_{1}^{- 1} u^{\frac{5}{3}} d u$

Schritt 6.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{8}{3} \int_{1}^{- 1} u^{\frac{5}{3}} d u$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{5}{3}}$ nach $u$ gleich $\frac{3}{8} u^{\frac{8}{3}}$ .

$- \frac{8}{3} \frac{3}{8} u^{\frac{8}{3}}]_{1}^{- 1}$

Schritt 8

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 8.1

Berechne $\frac{3}{8} u^{\frac{8}{3}}$ bei $- 1$ und $1$ .

$- \frac{8}{3} ((\frac{3}{8} {(- 1)}^{\frac{8}{3}}) - \frac{3}{8} \cdot 1^{\frac{8}{3}})$

Schritt 8.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{3}$ um.

$- \frac{8}{3} (\frac{3}{8} {({(- 1)}^{3})}^{\frac{8}{3}} - \frac{3}{8} \cdot 1^{\frac{8}{3}})$

Schritt 8.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{8}{3} (\frac{3}{8} {(- 1)}^{3 (\frac{8}{3})} - \frac{3}{8} \cdot 1^{\frac{8}{3}})$

Schritt 8.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{8}{3} (\frac{3}{8} {(- 1)}^{3 (\frac{8}{3})} - \frac{3}{8} \cdot 1^{\frac{8}{3}})$

Schritt 8.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{8}{3} (\frac{3}{8} {(- 1)}^{8} - \frac{3}{8} \cdot 1^{\frac{8}{3}})$

Schritt 8.2.4

Potenziere $- 1$ mit $8$ .

$- \frac{8}{3} (\frac{3}{8} \cdot 1 - \frac{3}{8} \cdot 1^{\frac{8}{3}})$

Schritt 8.2.5

Mutltipliziere $\frac{3}{8}$ mit $1$ .

$- \frac{8}{3} (\frac{3}{8} - \frac{3}{8} \cdot 1^{\frac{8}{3}})$

Schritt 8.2.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{8}{3} (\frac{3}{8} - \frac{3}{8} \cdot 1)$

Schritt 8.2.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{8}{3} (\frac{3}{8} - \frac{3}{8})$

Schritt 8.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{3 - 3}{8}$

Schritt 8.2.9

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{0}{8}$

Schritt 8.2.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $8$ .

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Schritt 8.2.10.1

Faktorisiere $8$ aus $0$ heraus.

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{8 (0)}{8}$

Schritt 8.2.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.10.2.1

Faktorisiere $8$ aus $8$ heraus.

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{8 \cdot 0}{8 \cdot 1}$

Schritt 8.2.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{8 \cdot 0}{8 \cdot 1}$

Schritt 8.2.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{0}{1}$

Schritt 8.2.10.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$- \frac{8}{3} \cdot 0$

Schritt 8.2.11

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$0 (\frac{8}{3})$

Schritt 8.2.12

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{8}{3}$ .

$0$

Schritt 9