Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{6}{5 \sqrt{4 x + 2}} + \frac{1}{\cos^{2} (5 x)}$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{6}{5 \sqrt{4 x + 2}} + \frac{1}{\cos^{2} (5 x)} d x$

Schritt 3

Wandle von $\frac{1}{\cos^{2} (5 x)}$ nach $\sec^{2} (5 x)$ um.

$\int \frac{6}{5 \sqrt{4 x + 2}} + \sec^{2} (5 x) d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{6}{5 \sqrt{4 x + 2}} d x + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Schritt 5

Da $\frac{6}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{6}{5}$ aus dem Integral.

$\frac{6}{5} \int \frac{1}{\sqrt{4 x + 2}} d x + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Schritt 6

Sei $u_{1} = 4 x + 2$ . Dann ist $d u_{1} = 4 d x$ , folglich $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 6.1

Es sei $u_{1} = 4 x + 2$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 6.1.1

Differenziere $4 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [4 x + 2]$

Schritt 6.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 6.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Schritt 6.1.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 6.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 6.1.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 6.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 6.1.4.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 + 0$

Schritt 6.1.4.2

Addiere $4$ und $0$ .

$4$

Schritt 6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\frac{6}{5} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} \cdot \frac{1}{4} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{u_{1}}}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$\frac{6}{5} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}} \cdot 4} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Schritt 7.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $\sqrt{u_{1}}$ .

$\frac{6}{5} \int \frac{1}{4 \sqrt{u_{1}}} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Schritt 8

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{6}{5} (\frac{1}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1}) + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Schritt 9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.1

Vereinfache.

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Schritt 9.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{6}{5}$ .

$\frac{6}{4 \cdot 5} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Schritt 9.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$\frac{6}{20} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Schritt 9.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $20$ .

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Schritt 9.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 (3)}{20} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Schritt 9.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.1.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $20$ heraus.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 10} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Schritt 9.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 10} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Schritt 9.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{10} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Schritt 9.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 9.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u_{1}}$ als ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{3}{10} \int \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Schritt 9.2.2

Bringe ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{3}{10} \int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Schritt 9.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 9.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{10} \int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Schritt 9.2.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\frac{3}{10} \int {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Schritt 9.2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{3}{10} \int {u_{1}}^{- \frac{1}{2}} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{1}}^{- \frac{1}{2}}$ nach $u_{1}$ gleich $2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{10} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Schritt 11

Sei $u_{2} = 5 x$ . Dann ist $d u_{2} = 5 d x$ , folglich $\frac{1}{5} d u_{2} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 11.1

Es sei $u_{2} = 5 x$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 11.1.1

Differenziere $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Schritt 11.1.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 11.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Schritt 11.1.4

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$5$

Schritt 11.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{3}{10} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) + \int \sec^{2} (u_{2}) \frac{1}{5} d u_{2}$

Schritt 12

Kombiniere $\sec^{2} (u_{2})$ und $\frac{1}{5}$ .

$\frac{3}{10} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) + \int \frac{\sec^{2} (u_{2})}{5} d u_{2}$

Schritt 13

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{5}$ aus dem Integral.

$\frac{3}{10} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{1}{5} \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Schritt 14

Da die Ableitung von $\tan (u_{2})$ gleich $\sec^{2} (u_{2})$ ist, ist das Integral von $\sec^{2} (u_{2})$ gleich $\tan (u_{2})$ .

$\frac{3}{10} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{1}{5} (\tan (u_{2}) + C)$

Schritt 15

Vereinfache.

$\frac{3 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}}{5} + \frac{1}{5} \tan (u_{2}) + C$

Schritt 16

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 16.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $4 x + 2$ .

$\frac{3 {(4 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{5} + \frac{1}{5} \tan (u_{2}) + C$

Schritt 16.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $5 x$ .

$\frac{3 {(4 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{5} + \frac{1}{5} \tan (5 x) + C$

Schritt 17

Stelle die Terme um.

$\frac{3}{5} {(4 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5} \tan (5 x) + C$

Schritt 18

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{6}{5 \sqrt{4 x + 2}} + \frac{1}{\cos^{2} (5 x)}$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{5} {(4 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5} \tan (5 x) + C$