Analysis Beispiele

$f (x) = e^{\frac{1}{x}}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Schritt 1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{1}{x}$ .

$e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 1.2.1

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$e^{\frac{1}{x}} (- x^{- 2})$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{\frac{1}{x}} (- \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 1.3.2

Kombiniere $e^{\frac{1}{x}}$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f' (x) = - \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - 1$ und $g (x) = \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}] + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = e^{\frac{1}{x}}$ und $g (x) = x^{2}$ .

$- \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}] - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}] - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}] - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Schritt 2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$- \frac{x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.4.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{x^{2} (e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.5.1

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$- \frac{x^{2} (e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- \frac{x^{2} (e^{\frac{1}{x}} (- x^{- 2})) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.6

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{- 2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.6.1

Bewege $x^{- 2}$ .

$- \frac{x^{- 2} x^{2} (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1)) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.6.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{x^{- 2 + 2} (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1)) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.6.3

Addiere $- 2$ und $2$ .

$- \frac{x^{0} (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1)) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.7.1

Vereinfache $x^{0} (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1))$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.7.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{\frac{1}{x}}$ .

$- \frac{- 1 \cdot e^{\frac{1}{x}} - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.7.3

Schreibe $- 1 e^{\frac{1}{x}}$ als $- e^{\frac{1}{x}}$ um.

$- \frac{- e^{\frac{1}{x}} - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \frac{- e^{\frac{1}{x}} - e^{\frac{1}{x}} (2 x)}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.9

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- \frac{- e^{\frac{1}{x}} - 2 e^{\frac{1}{x}} x}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.10

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{- e^{\frac{1}{x}} - 2 e^{\frac{1}{x}} x}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \cdot 0$

Schritt 2.11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.11.1

Mutltipliziere $\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$ mit $0$ .

$- \frac{- e^{\frac{1}{x}} - 2 e^{\frac{1}{x}} x}{x^{4}} + 0$

Schritt 2.11.2

Addiere $- \frac{- e^{\frac{1}{x}} - 2 e^{\frac{1}{x}} x}{x^{4}}$ und $0$ .

$- \frac{- e^{\frac{1}{x}} - 2 e^{\frac{1}{x}} x}{x^{4}}$

Schritt 2.12

Vereinfache.

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Schritt 2.12.1

Stelle die Faktoren in $- e^{\frac{1}{x}} - 2 e^{\frac{1}{x}} x$ um.

$- \frac{- e^{\frac{1}{x}} - 2 x e^{\frac{1}{x}}}{x^{4}}$

Schritt 2.12.2

Faktorisiere $e^{\frac{1}{x}}$ aus $- e^{\frac{1}{x}} - 2 x e^{\frac{1}{x}}$ heraus.

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Schritt 2.12.2.1

Faktorisiere $e^{\frac{1}{x}}$ aus $- e^{\frac{1}{x}}$ heraus.

$- \frac{e^{\frac{1}{x}} \cdot - 1 - 2 x e^{\frac{1}{x}}}{x^{4}}$

Schritt 2.12.2.2

Faktorisiere $e^{\frac{1}{x}}$ aus $- 2 x e^{\frac{1}{x}}$ heraus.

$- \frac{e^{\frac{1}{x}} \cdot - 1 + e^{\frac{1}{x}} (- 2 x)}{x^{4}}$

Schritt 2.12.2.3

Faktorisiere $e^{\frac{1}{x}}$ aus $e^{\frac{1}{x}} \cdot - 1 + e^{\frac{1}{x}} (- 2 x)$ heraus.

$- \frac{e^{\frac{1}{x}} (- 1 - 2 x)}{x^{4}}$

Schritt 2.12.3

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$- \frac{e^{\frac{1}{x}} (- 1 (1) - 2 x)}{x^{4}}$

Schritt 2.12.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x$ heraus.

$- \frac{e^{\frac{1}{x}} (- 1 (1) - (2 x))}{x^{4}}$

Schritt 2.12.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (2 x)$ heraus.

$- \frac{e^{\frac{1}{x}} (- 1 (1 + 2 x))}{x^{4}}$

Schritt 2.12.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{e^{\frac{1}{x}} (1 + 2 x)}{x^{4}}$

Schritt 2.12.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{e^{\frac{1}{x}} (1 + 2 x)}{x^{4}}$

Schritt 2.12.8

Mutltipliziere $\frac{e^{\frac{1}{x}} (1 + 2 x)}{x^{4}}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{e^{\frac{1}{x}} (1 + 2 x)}{x^{4}}$

Schritt 3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{e^{\frac{1}{x}} (1 + 2 x)}{x^{4}}$ .

$\frac{e^{\frac{1}{x}} (1 + 2 x)}{x^{4}}$