Analysis Beispiele

$\frac{\ln (x)}{\sin (x)}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\sin (x) \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 3

Kombiniere $\sin (x)$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{\sin (x)}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 4

Mutltipliziere $\frac{\frac{\sin (x)}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{x} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Kombinieren.

$\frac{x (\frac{\sin (x)}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{x \sin^{2} (x)}$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \frac{\sin (x)}{x} + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{x \sin^{2} (x)}$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{\sin (x)}{x} + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{x \sin^{2} (x)}$

Schritt 5.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sin (x) + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{x \sin^{2} (x)}$

Schritt 6

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) + x (- \ln (x) \cos (x))}{x \sin^{2} (x)}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\sin (x) - x \ln (x) \cos (x)}{x \sin^{2} (x)}$

Schritt 7.2

Stelle die Terme um.

$\frac{- x \cos (x) \ln (x) + \sin (x)}{x \sin^{2} (x)}$

Schritt 7.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- x \cos (x) \ln (x)$ heraus.

$\frac{- (x \cos (x) \ln (x)) + \sin (x)}{x \sin^{2} (x)}$

Schritt 7.4

Faktorisiere $- 1$ aus $\sin (x)$ heraus.

$\frac{- (x \cos (x) \ln (x)) - 1 (- \sin (x))}{x \sin^{2} (x)}$

Schritt 7.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x \cos (x) \ln (x)) - 1 (- \sin (x))$ heraus.

$\frac{- (x \cos (x) \ln (x) - \sin (x))}{x \sin^{2} (x)}$

Schritt 7.6

Schreibe $- (x \cos (x) \ln (x) - \sin (x))$ als $- 1 (x \cos (x) \ln (x) - \sin (x))$ um.

$\frac{- 1 (x \cos (x) \ln (x) - \sin (x))}{x \sin^{2} (x)}$

Schritt 7.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x \cos (x) \ln (x) - \sin (x)}{x \sin^{2} (x)}$