Analysis Beispiele

$y = - \frac{5}{3} x^{4} + \frac{1}{4} x^{5} + \frac{4}{15}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{5}{3} x^{4} + \frac{1}{4} x^{5} + \frac{4}{15}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{4}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $- \frac{5}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{5}{3} x^{4}$ nach $x$ gleich $- \frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$- \frac{5}{3} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- 4 (\frac{5}{3}) x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Schritt 1.2.4

Kombiniere $- 4$ und $\frac{5}{3}$ .

$\frac{- 4 \cdot 5}{3} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Schritt 1.2.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$\frac{- 20}{3} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Schritt 1.2.6

Kombiniere $\frac{- 20}{3}$ und $x^{3}$ .

$\frac{- 20 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Schritt 1.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{4} x^{5}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{1}{4} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Schritt 1.3.3

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{5}{4} x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Schritt 1.3.4

Kombiniere $\frac{5}{4}$ und $x^{4}$ .

$- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Schritt 1.4

Da $\frac{4}{15}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4}{15}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{5 x^{4}}{4} + 0$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Addiere $- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{5 x^{4}}{4}$ und $0$ .

$- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{5 x^{4}}{4}$

Schritt 1.5.2

Stelle die Terme um.

$f' (x) = \frac{5 x^{4}}{4} - \frac{20 x^{3}}{3}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{5 x^{4}}{4} - \frac{20 x^{3}}{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{4}}{4}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $\frac{5}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{5 x^{4}}{4}$ nach $x$ gleich $\frac{5}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{5}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{5}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Schritt 2.2.3

Kombiniere $4$ und $\frac{5}{4}$ .

$\frac{4 \cdot 5}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$\frac{20}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Schritt 2.2.5

Kombiniere $\frac{20}{4}$ und $x^{3}$ .

$\frac{20 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Schritt 2.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $20$ und $4$ .

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Schritt 2.2.6.1

Faktorisiere $4$ aus $20 x^{3}$ heraus.

$\frac{4 (5 x^{3})}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Schritt 2.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.6.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{4 (5 x^{3})}{4 (1)} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Schritt 2.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (5 x^{3})}{4 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Schritt 2.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Schritt 2.2.6.2.4

Dividiere $5 x^{3}$ durch $1$ .

$5 x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- \frac{20}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{20 x^{3}}{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{20}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 x^{3} - \frac{20}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$5 x^{3} - \frac{20}{3} (3 x^{2})$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$5 x^{3} - 3 (\frac{20}{3}) x^{2}$

Schritt 2.3.4

Kombiniere $- 3$ und $\frac{20}{3}$ .

$5 x^{3} + \frac{- 3 \cdot 20}{3} x^{2}$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $20$ .

$5 x^{3} + \frac{- 60}{3} x^{2}$

Schritt 2.3.6

Kombiniere $\frac{- 60}{3}$ und $x^{2}$ .

$5 x^{3} + \frac{- 60 x^{2}}{3}$

Schritt 2.3.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 60$ und $3$ .

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Schritt 2.3.7.1

Faktorisiere $3$ aus $- 60 x^{2}$ heraus.

$5 x^{3} + \frac{3 (- 20 x^{2})}{3}$

Schritt 2.3.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.7.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$5 x^{3} + \frac{3 (- 20 x^{2})}{3 (1)}$

Schritt 2.3.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 x^{3} + \frac{3 (- 20 x^{2})}{3 \cdot 1}$

Schritt 2.3.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$5 x^{3} + \frac{- 20 x^{2}}{1}$

Schritt 2.3.7.2.4

Dividiere $- 20 x^{2}$ durch $1$ .

$f'' (x) = 5 x^{3} - 20 x^{2}$